From b3441e1c26107a85ceefdcc28ba30b48692520d2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Tue, 18 Apr 2017 02:35:05 +0200 Subject: Write answers to second exercise. --- controle-20170419.tex | 111 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 110 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/controle-20170419.tex b/controle-20170419.tex index bafc332..10862cf 100644 --- a/controle-20170419.tex +++ b/controle-20170419.tex @@ -475,6 +475,27 @@ car ces derniers ne sont définis que pour \emph{deux} joueurs.) façon raisonnable de présenter un tableau à trois entrées, par exemple comme plusieurs tableaux à deux entrées mis côte à côte.) +\begin{corrige} +On fait deux tableaux, l'un pour le cas où Alice joue $\mathtt{0}$, +\begin{center} +\begin{tabular}{r|cc} +$\mathtt{0}$A, $\downarrow$B, C$\rightarrow$&$\mathtt{0}$&$\mathtt{1}$\\\hline +$\mathtt{0}$&$0,0,0$&$-1,-1,+2$\\ +$\mathtt{1}$&$-1,+2,-1$&$+2,-1,-1$\\ +\end{tabular} +\end{center} +et l'autre pour le cas où Alice joue $\mathtt{1}$, +\begin{center} +\begin{tabular}{r|cc} +$\mathtt{1}$A, $\downarrow$B, C$\rightarrow$&$\mathtt{0}$&$\mathtt{1}$\\\hline +$\mathtt{0}$&$+2,-1,-1$&$-1,+2,-1$\\ +$\mathtt{1}$&$-1,-1,+2$&$0,0,0$\\ +\end{tabular} +\end{center} +Chacune des entrées doit bien sûr lister trois nombres, pour les gains +d'Alice, Bob et Charlie respectivement. +\end{corrige} + \smallbreak Si $p \in [0;1]$, on notera simplement $p$ la stratégie mixte d'un @@ -486,6 +507,16 @@ stratégie mixte $p$ tandis que Bob joue selon la stratégie mixte $q$ et Charlie selon la stratégie mixte $r$ vaut : $-2pq -2pr +4qr + 2p - q -r$. (Ici, $p,q,r$ sont trois réels entre $0$ et $1$.) +\begin{corrige} +Si Alice joue $\mathtt{0}$, son espérance de gain est $-q(1-r) - +(1-q)r + 2qr$ d'après le premier tableau donné en réponse à la +question précédente, soit $4qr - q - r$. Si Alice joue $\mathtt{1}$, +son espérance de gain vaut $2(1-q)(1-r) -q(1-r) - (1-q)r = 4qr - 3q - +3r + 2$. Si elle joue $p$, son espérance de gain vaut $1-p$ fois $4qr +- q - r$ plus $p$ fois $4qr - 3q - 3r + 2$, ce qui vaut l'expression +$-2pq -2pr +4qr + 2p - q -r$ annoncée. +\end{corrige} + \smallbreak (3) On se demande à quelle condition sur la stratégie mixte $q$ jouée @@ -494,18 +525,77 @@ $\mathtt{0}$ et $\mathtt{1}$ d'Alice sont indifférentes pour elle (c'est-à-dire, lui apportent la même espérance de gain). Montrer que c'est le cas si et seulement si $q + r = 1$. +\begin{corrige} +On cherche à quelle condition la valeur $4qr - q - r$ (qui se retrouve +en substituant $0$ à $p$ dans $-2pq -2pr +4qr + 2p - q -r$) est égale +à $4qr - 3q - 3r + 2$ (obtenue en mettant $p$ à $1$). La différence +entre les deux vaut $2 - 2q - 2r$, qui est donc nulle si et seulement +si $q+r = 1$, comme annoncé. +\end{corrige} + \smallbreak (4) Déduire de la question (3) que si un profil $(p,q,r)$ de stratégies mixtes est un équilibre de Nash et que $0