From ca0c197e279b32f0de08ccba2373eed52aa6981a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Wed, 25 Nov 2015 21:08:10 +0100 Subject: More examples of games, and a discussion about preposing choices. --- notes-mitro206.tex | 92 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++----- 1 file changed, 85 insertions(+), 7 deletions(-) diff --git a/notes-mitro206.tex b/notes-mitro206.tex index 59fdba9..b4fba25 100644 --- a/notes-mitro206.tex +++ b/notes-mitro206.tex @@ -60,7 +60,7 @@ \section{Introduction et typologie} -\subsection{La notion de jeu mathématique} +\subsection{La notion de jeu mathématique : généralités} \thingy Il n'est pas possible de donner une définition générale précise de la notion de « jeu mathématique ». On verra plus loin des @@ -164,12 +164,13 @@ plus précisément selon le type de jeu). \thingy\label{intro-simultaneous-or-sequential} Les coups des joueurs peuvent avoir lieu \textbf{simultanément ou séquentiellement}. -(Formellement, il s'agit seulement d'une différence de présentation. -On peut toujours ramener des coups séquentiels à des coups simultanés -en n'offrant qu'une seule option à tous les joueurs sauf l'un, et -réciproquement, on peut ramener des coups simultanés à des coups -séquentiels en cachant à chaque joueur l'information de ce que l'autre -a joué.) +Formellement, il s'agit seulement d'une différence de présentation. +On peut toujours ramener des coups séquentiels à plusieurs coups +simultanés en n'offrant qu'une seule option à tous les joueurs sauf +l'un, et réciproquement, on peut ramener des coups simultanés à des +coups séquentiels en cachant à chaque joueur l'information de ce que +l'autre a joué. La question \ref{question-preposing-moves} est +cependant plus intéressante. \thingy Le jeu peut être à \textbf{information parfaite} ou non. Un jeu à information parfaite est un jeu dont la règle ne fait pas @@ -283,6 +284,54 @@ jouer papier, ciseaux ou puits avec probabilité $\frac{1}{3}$ chacun adversaire, et même strictement positif s'il joue pierre avec probabilité strictement positive). +\thingy Le \textbf{jeu du partage} ou \textbf{de l'ultimatum} : Alice +et Bob ont $10$ points à se partager : Alice choisit un $k$ entre $0$ +et $10$ entier (disons), la partie qu'elle se propose de garder pour +elle, \emph{puis} Bob choisit, en fonction du $k$ proposé par Alice, +d'accepter ou de refuser le partage : s'il accepte, Alice reçoit le +gain $k$ et Bob reçoit le gain $10-k$, tandis que si Bob refuse, les +deux reçoivent $0$. Cette fois, il ne s'agit pas d'un jeu à somme +nulle ! + +Variante : Alice choisit $k$ et \emph{simultanément} Bob choisit +$\varphi \colon \{0,\ldots,10\} \to \{\textrm{accepte},\penalty0 +\textrm{refuse}\}$. Si $\varphi(k) = \textrm{accepte}$ alors Alice +reçoit $k$ et Bob reçoit $10-k$, tandis que si $\varphi(k) = +\textrm{refuse}$ alors Alice et Bob reçoivent tous les deux $0$. Ceci +revient (cf. \ref{question-preposing-moves}) à demander à Bob de +préparer sa réponse $\varphi(k)$ à tous les coups possibles d'Alice +(notons qu'Alice n'a pas connaissance de $\varphi$ quand elle +choisit $k$, les deux sont choisis simultanément). On se convainc +facilement que si Bob accepte $k$, il devrait aussi accepter tous +les $k'\leq k$, d'où la nouvelle : + +Variante : Alice choisit $k$ entre $0$ et $10$ (la somme qu'elle +propose de se garder) et \emph{simultanément} Bob choisit $\ell$ entre +$0$ et $10$ (le maximum qu'il accepte qu'Alice garde pour elle) : si +$k\leq \ell$ alors Alice reçoit $k$ et Bob reçoit $10-k$, tandis que +si $k>\ell$ alors Alice et Bob reçoivent tous les deux $0$. + +Ce jeu peut sembler paradoxal pour la raison suivante : dans la +première forme proposée, une fois $k$ choisi, on il semble que Bob ait +toujours intérêt à accepter le partage dès que $k<10$ (il gagnera +quelque chose, alors que s'il refuse il ne gagne rien) ; pourtant, on +a aussi l'impression que refuser un partage pour $k>5$ correspond à +refuser un chantage (Alice dit en quelque sorte à Bob « si tu +n'acceptes pas la petite part que je te laisse, tu n'auras rien du +tout »). + +Dans la troisième forme, qui est censée être équivalente, on verra +qu'il existe plusieurs équilibres de Nash, ceux où $\ell=k$ (les deux +joueurs sont d'accord sur le partage) et celui où $k=10$ et $\ell=0$ +(les deux joueurs demandent tous les deux la totalité du butin, et +n'obtiennent rien). Un « équilibre de Nash » signifie que dans cette +situation, aucun des joueurs n'améliorerait son gain en changeant +unilatéralement le coup qu'il joue. + +\thingy Le \textbf{dilemme du prisonnier} : Alice et Bob choisissent +simultanément une option parmi « coopérer » ou « faire défaut ». +\textcolor{red}{À finir.} + \thingy Un jeu idiot : Alice et Bob choisissent simultanément chacun un entier naturel. Celui qui a choisi le plus grand gagne (en cas d'égalité, on peut déclarer le nul, ou décider arbitrairement qu'Alice @@ -296,6 +345,35 @@ forme normale, l'hypothèse de finitude des choix sera généralement essentielle. +\subsection{Remarques} + +\thingy\label{question-preposing-moves} La question suivante mérite +l'attention : supposons que, dans un jeu, deux joueurs aient à jouer +deux coups successifs, disons que le joueur $A$ choisit une option $x$ +parmi un certain ensemble $E$ (typiquement fini), \emph{puis} le +joueur $B$ choisit, en connaissant le $x$ choisi par $A$, une option +$y$ parmi un certain ensemble $F$ (typiquement fini). Revient-il au +même de demander de choisir \emph{simultanément} pour $A$ un élément +de $E$ et pour $B$ un élément de l'ensemble $F^E$ des fonctions de $E$ +dans $F$ ? L'idée étant que $B$ choisit la fonction $\varphi$ qui, +selon le coup $x \in E$ joué par $A$, déterminera le coup $y := +\varphi(x) \in F$ qu'il joue en réponse. Au moins si $E$ est fini, on +peut imaginer que $B$ considère mentalement tous les coups que $A$ +pourra jouer et choisit la réponse qu'il y apporterait, déterminant +ainsi la fonction $\varphi$ (si on préfère, $\varphi$ est une +stratégie locale pour le prochain coup de $B$). + +En principe, les jeux ainsi considérés (le jeu initial, et celui où on +a demandé à $B$ d'anticiper son choix en le remplaçant par une +fonction du choix de $A$) devraient être équivalents. En pratique, il +se peut qu'on les analyse différemment pour différentes raisons. + +Notons que si on permet ou oblige $B$ à communiquer à $A$ la fonction +$\varphi$ qu'il a choisie, i.e., à s'\emph{engager} irrévocablement +sur le coup $y$ qu'il jouerait selon le coup $x$ de $A$, on peut +véritablement changer le jeu. + + % % % -- cgit v1.2.3