From f122b2572dd4852b78417c2edca81e0075efc704 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Thu, 26 May 2016 19:00:12 +0200
Subject: Fix various small mistakes in answer to test.

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 controle-20160421.tex | 15 ++++++++-------
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+++ b/controle-20160421.tex
@@ -195,8 +195,8 @@ problème de programmation linéaire suivant :
 \text{maximiser\ }v&\text{\ avec}\\
 p_U \geq 0\;, \;\; p_V \geq 0&\\
 p_U + p_V &= 1\\
-v - 3p_U - 1p_V &\leq 0\;\;\text{(X)}\\
-v - 0p_U - 4p_V &\leq 0\;\;\text{(Y)}\\
+v - 3p_U - 0p_V &\leq 0\;\;\text{(X)}\\
+v - 1p_U - 4p_V &\leq 0\;\;\text{(Y)}\\
 \end{aligned}
 \right.
 \]
@@ -605,7 +605,8 @@ Par induction sur $\alpha$ et $\beta$, on prouve $\beta\otimes\alpha =
 de $\alpha$ ou $\beta$ est remplacé par un ordinal strictement plus
 petit.  Or $\beta\otimes\alpha = \mex \{(\beta\otimes\alpha') \oplus
 (\beta'\otimes\alpha) \oplus (\beta'\otimes\alpha') : \alpha'<\alpha,
-\beta'<\beta\}$, et par hypothèse d'induction ceci vaut $\mex
+\beta'<\beta\}$ (en utilisant la commutativité de $\oplus$), et par
+hypothèse d'induction ceci vaut $\mex
 \{(\alpha'\otimes\beta) \oplus (\alpha\otimes\beta') \oplus
 (\alpha'\otimes\beta') : \alpha'<\alpha, \beta'<\beta\} =
 \alpha\otimes\beta$.
@@ -733,7 +734,7 @@ $\alpha^*$ tel que $\alpha\otimes\alpha^* = 1$, c'est-à-dire, un
 \emph{inverse} pour le produit de nim.  Pour cela, on suppose par
 l'absurde le contraire, et on considère $\alpha$ le \emph{plus petit}
 ordinal non nul qui n'a pas d'inverse, et on va arriver à une
-contradiction.  Pour cela, appelons $\gamma_0 = \sup^+ \big(\{\alpha\}
+contradiction.  Pour cela, appelons $\delta_0 = \sup^+ \big(\{\alpha\}
 \cup \{\beta^* : \beta<\alpha\} \big)$ (où $\beta^*$ désigne l'inverse
 de $\beta$, qu'on a supposé exister vu que $\beta<\alpha$) le plus
 petit ordinal strictement supérieur à $\alpha$ et aux inverses des
@@ -771,7 +772,7 @@ déduire que $\alpha\otimes\delta = 1$ et conclure.
   \delta$.
 
 (b) Si $0 < \alpha' < \alpha$ et si $\alpha' \otimes \delta < \delta$,
-  alors comme $(\alpha')^* < \gamma_0 \leq \delta$, on a
+  alors comme $(\alpha')^* < \delta_0 \leq \delta$, on a
   $(\alpha')^*\otimes (\alpha' \otimes \delta) < \delta$ d'après (a).
   Or $(\alpha')^* \otimes (\alpha' \otimes \delta) = \delta$ par
   associativité et par le fait que $(\alpha')^*$ est l'inverse
@@ -793,8 +794,8 @@ déduire que $\alpha\otimes\delta = 1$ et conclure.
 
 (e) Par définition, $\alpha\otimes\delta$ est le plus petit ordinal
   qui n'est pas de la forme $(\alpha'\otimes\delta) \oplus
-  (\alpha\otimes\delta') \oplus (\alpha'\otimes\delta') =
-  \alpha\otimes\delta'$ pour $\alpha'<\alpha$ et $\delta'<\delta$.  Or
+  (\alpha\otimes\delta') \oplus (\alpha'\otimes\delta')$ pour
+  $\alpha'<\alpha$ et $\delta'<\delta$.  Or
   on a montré en (c) et (d) que cette expression n'est jamais $1$, et
   en revanche elle peut être $0$ (pour $\alpha'=\delta'=0$).  Le plus
   petit ordinal qui n'est pas de cette forme est donc $1$ : mais on a
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