From 020e328071cb71895fa8177ff23054c0d645d408 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Mon, 17 Apr 2017 23:24:53 +0200
Subject: Re-read exam question.

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 controle-20170419.tex | 36 ++++++++++++++++++------------------
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--- a/controle-20170419.tex
+++ b/controle-20170419.tex
@@ -124,16 +124,16 @@ Git: \input{vcline.tex}
 \exercice
 
 On s'intéresse dans cet exercice au jeu de \emph{Hackenbush impartial
-  en arbre}, défini comme suit.  L'état du jeu est un arbre (fini,
-enraciné\footnote{C'est-à-dire que la racine fait partie de la donnée
-  de l'arbre, ce qui est la convention la plus courante.}).  Deux
-joueurs alternent, et chacun, quand vient son tour, choisit une arête
-de l'arbre et l'efface, ce qui fait automatiquement disparaître du
-même coup tout le sous-arbre qui descendait de cette arête (voir
-figure).  Le jeu se termine lorsque plus aucun coup n'est possible
-(c'est-à-dire que l'arbre est réduit à sa seule racine), auquel cas,
-selon la convention habituelle, le joueur qui ne peut plus jouer a
-perdu.
+  en arbre}, défini comme suit.  L'état du jeu est représenté par un
+arbre (fini, enraciné\footnote{C'est-à-dire que la racine fait partie
+  de la donnée de l'arbre, ce qui est la convention la plus
+  courante.}).  Deux joueurs alternent, et chacun, quand vient son
+tour, choisit une arête de l'arbre et l'efface, ce qui fait
+automatiquement disparaître du même coup tout le sous-arbre qui
+descendait de cette arête (voir figure).  Le jeu se termine lorsque
+plus aucun coup n'est possible (c'est-à-dire que l'arbre est réduit à
+sa seule racine), auquel cas, selon la convention habituelle, le
+joueur qui ne peut plus jouer a perdu.
 
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}[baseline=0]
@@ -187,7 +187,7 @@ devient
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
 
-(1) Expliquer pourquoi une position de ce jeu peut être représentée
+(1) Expliquer pourquoi une position de ce jeu peut être considérée
 comme une somme de nim de différents jeux du même type.  Plus
 exactement, soit $T$ un arbre de racine $x$, soient $y_1,\ldots,y_r$
 les fils de $x$, soient $T_1,\ldots,T_r$ les sous-arbres ayant pour
@@ -204,7 +204,7 @@ Qu'en déduit-on sur la valeur de Grundy de la position $T$ ?
 Indépendamment de ce qui précède, on va considérer une nouvelle
 opération sur les jeux : si $G$ est un jeu combinatoire impartial, vu
 comme un graphe orienté (bien-fondé), on définit un jeu noté $*{:}G$
-défini en ajoutant une unique position à $G$ comme on va l'expliquer.
+défini en ajoutant une unique position $0$ à $G$ comme on va l'expliquer.
 Pour chaque position $z$ de $G$ il y a une position notée $*{:}z$ de
 $*{:}G$, et il y a une unique autre position, notée $0$,
 dans $*{:}G$ ; pour chaque arête $z \to z'$ de $G$, il y a une arête
@@ -286,7 +286,7 @@ haut.)  Quel coup préconiseriez-vous dans cette situation ?
 (6) On remarque que la construction $*{:}G$ définie avant la
 question (2) peut se définir de façon identique lorsque $G$ est un jeu
 partisan, en donnant à une arête $*{:}z\, \to \, *{:}z'$ la même
-couleur que $z\to z'$ et à une arête $*{:}z\, \to 0$ la couleur verte
+couleur que $z\to z'$, et à une arête $*{:}z\, \to 0$ la couleur verte
 (ce qui signifie : à la fois bleue et rouge).  En décrivant une
 stratégie, montrer que si $G \geq H$ on a aussi $*{:}G \geq *{:}H$, et
 en déduire que si $G\doteq H$ alors $*{:}G \doteq *{:}H$ (où $\doteq$
@@ -319,15 +319,15 @@ car ces derniers ne sont définis que pour \emph{deux} joueurs.)
 
 \smallbreak
 
-(1) Donner le tableau des gains du jeu considéré.  (On choisira une
+(1) Écrire le tableau des gains du jeu considéré.  (On choisira une
 façon raisonnable de présenter un tableau à trois entrées, par exemple
 comme plusieurs tableaux à deux entrées mis côte à côte.)
 
 \smallbreak
 
 Si $p \in [0;1]$, on notera simplement $p$ la stratégie mixte d'un
-joueur qui consiste à choisir $\mathtt{1}$ avec probabilité $p$ et
-$\mathtt{0}$ avec probabilité $1-p$.
+joueur qui consiste à choisir l'option $\mathtt{1}$ avec
+probabilité $p$, et l'option $\mathtt{0}$ avec probabilité $1-p$.
 
 (2) Vérifier que l'espérance de gain d'Alice si elle joue selon la
 stratégie mixte $p$ tandis que Bob joue selon la stratégie mixte $q$
@@ -340,7 +340,7 @@ q -r$.  (Ici, $p,q,r$ sont trois réels entre $0$ et $1$.)
 par Bob et la stratégie mixte $r$ jouée par Charlie les options
 $\mathtt{0}$ et $\mathtt{1}$ d'Alice sont indifférentes pour elle
 (c'est-à-dire, lui apportent la même espérance de gain).  Montrer que
-c'est le cas ssi $q + r = 1$.
+c'est le cas si et seulement si $q + r = 1$.
 
 \smallbreak
 
@@ -358,7 +358,7 @@ $q$ et $r$ ; la symétrie doit permettre de simplifier le travail).
 
 (6) Dans cette question, on modifie le jeu : plutôt que faire leurs
 choix indépendamment, les joueurs le font successivement (Alice, puis
-Bob, puis Charlie).  (a) Que vont faire Bob puis Charlie si Alice
+Bob, puis Charlie).  (a) Que va faire Bob si Alice
 choisit $\mathtt{0}$ ?  (b) Informellement, expliquer qui est avantagé
 ou désavantagé par cette modification de la règle.
 
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cgit v1.2.3

