From bbeb992ed925bce434c664d7afdb76a1622d8508 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sat, 7 Apr 2018 11:43:17 +0200
Subject: Start writing exam for 2018-04-11.

---
 controle-20180411.tex | 191 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 191 insertions(+)
 create mode 100644 controle-20180411.tex

(limited to 'controle-20180411.tex')

diff --git a/controle-20180411.tex b/controle-20180411.tex
new file mode 100644
index 0000000..ad422b0
--- /dev/null
+++ b/controle-20180411.tex
@@ -0,0 +1,191 @@
+%% This is a LaTeX document.  Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
+\documentclass[12pt,a4paper]{article}
+\usepackage[francais]{babel}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+%\usepackage{ucs}
+\usepackage{times}
+% A tribute to the worthy AMS:
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsthm}
+%
+\usepackage{mathrsfs}
+\usepackage{wasysym}
+\usepackage{url}
+%
+\usepackage{graphics}
+\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{matrix,calc}
+\usepackage{hyperref}
+%
+%\externaldocument{notes-mitro206}[notes-mitro206.pdf]
+%
+\theoremstyle{definition}
+\newtheorem{comcnt}{Tout}
+\newcommand\thingy{%
+\refstepcounter{comcnt}\smallskip\noindent\textbf{\thecomcnt.} }
+\newcommand\exercice{%
+\refstepcounter{comcnt}\bigskip\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}}
+\renewcommand{\qedsymbol}{\smiley}
+%
+\newcommand{\outnb}{\operatorname{outnb}}
+\newcommand{\downstr}{\operatorname{downstr}}
+\newcommand{\precs}{\operatorname{precs}}
+\newcommand{\mex}{\operatorname{mex}}
+\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
+\newcommand{\limp}{\Longrightarrow}
+\newcommand{\gr}{\operatorname{gr}}
+\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
+\newcommand{\fuzzy}{\mathrel{\|}}
+%
+\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
+%
+\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C}
+\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D}
+%
+\DeclareFontFamily{U}{manual}{} 
+\DeclareFontShape{U}{manual}{m}{n}{ <->  manfnt }{}
+\newcommand{\manfntsymbol}[1]{%
+    {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}}
+\newcommand{\dbend}{\manfntsymbol{127}}% Z-shaped
+\newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2%
+  \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}}
+%
+\newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em}
+\newif\ifcorrige
+\corrigetrue
+\newenvironment{corrige}%
+{\ifcorrige\par\smallbreak\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi%
+\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}}
+{{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}%
+\ifcorrige\relax\else\egroup\fi\par}
+%
+%
+%
+\begin{document}
+\ifcorrige
+\title{MITRO206\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Théorie des jeux}}
+\else
+\title{MITRO206\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Théorie des jeux}}
+\fi
+\author{}
+\date{11 avril 2018}
+\maketitle
+
+%% {\footnotesize
+%% \immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex}
+%% \begin{center}
+%% Git: \input{vcline.tex}
+%% \end{center}
+%% \immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex}
+%% \par}
+
+\pretolerance=8000
+\tolerance=50000
+
+\vskip1truein\relax
+
+\noindent\textbf{Consignes.}
+
+Les exercices sont totalement indépendants.  Ils pourront être traités
+dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître de façon
+très visible dans les copies où commence chaque exercice.
+
+\medbreak
+
+L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou
+imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé.
+
+L'usage des appareils électroniques est interdit.
+
+\medbreak
+
+Durée : 2h
+
+\emph{Avertissement :} Les exercices ne sont pas tous une application
+immédiate du cours ; il est parfois nécessaire de s'inspirer des
+techniques ou raisonnements vus en cours pour raisonner dans des
+cadres légèrement différents.
+
+\vfill
+{\noindent\tiny
+\immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex}
+Git: \input{vcline.tex}
+\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex}
+\par}
+
+\pagebreak
+
+
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+On considère le jeu suivant entre $N$ joueurs (où $N\geq 3$ est
+fixé) : chaque joueur choisit, indépendamment des autres, une des deux
+options $E$ (« égoïste ») ou $A$ (« altruiste »).  Le but de chaque
+joueur est de maximiser son gain, indépendamment des autres.  Le choix
+$E$ apporte un gain de $1$ point au joueur qui le fait (en plus des
+gains liés aux choix $A$ des autres comme expliqué dans la phrase
+suivante).  Le choix $A$ apporte un gain de $2$ points, mais ces gains
+sont mutualisés entre \emph{tous} les joueux, y compris ceux qui ont
+choisi $E$.  Autrement dit, si $k$ joueurs choisissent l'option $A$,
+chaque joueur gagne $\frac{2k}{N}$ à cause de ces choix (les $N-k$
+joueurs qui ont choisi $E$ gagnent donc $1 + \frac{2k}{N}$ au total).
+
+(0) Quel est le gain maximal d'un joueur dans ce jeu ?  Quel est le
+gain minimal ?
+
+(1) En supposant fixés les choix effectués par les $N-1$ autres
+joueurs, exprimer le gain d'un joueur s'il choisit $E$ d'une part,
+$A$ d'autre part ; calculer la différence entre ces deux gains.  Quel
+est le signe de cette différence ?
+
+(2) Expliciter tous les équilibres de Nash dans ce jeu (on indiquera
+les stratégies pures ou mixtes intervenant dans l'équilibre, et le
+gain espéré pour chaque joueur).
+
+\medskip
+
+On appelle maintenant \emph{stratégie rationnelle commune} une
+stratégie mixte $s$ qui, si elle est suivie par tous les joueurs,
+maximise le gain espéré de chaque joueur (il est le même pour chaque
+joueur puisqu'on fait justement ici l'hypothèse qu'ils jouent tous
+selon la même stratégie $s$).
+
+(3) Expliciter la ou les stratégie(s) rationnelle(s) commune(s) au jeu
+considéré ci-dessus.
+
+(4) Commenter brièvement quant à la différence entre les réponses aux
+questions (2) et (3).
+
+
+
+%
+%
+%
+
+\refstepcounter{comcnt}\bigskip\noindent\textbf{Points bonus.}
+
+(Ceci n'est pas un exercice à résoudre mais un choix à faire.)
+
+Vous disposez de deux options : indiquez clairement sur votre copie si
+vous souhaitez
+\begin{itemize}
+\item[(E)] obtenir $1$ point pour cette question, qui sera compté
+  dans votre note, ou bien
+\item[(A)] obtenir $2$ points pour cette question, qui seront
+  mutualisés entre tous les participants.
+\end{itemize}
+
+
+
+%
+%
+%
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.3

