From e5720679609deb3bbacae8fb0d9ce1e2d73ff756 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sat, 7 Apr 2018 22:33:10 +0200
Subject: Another exercise, and various additional explanations.

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 controle-20180411.tex | 46 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++----
 1 file changed, 42 insertions(+), 4 deletions(-)

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diff --git a/controle-20180411.tex b/controle-20180411.tex
index 6272a14..5c7c197 100644
--- a/controle-20180411.tex
+++ b/controle-20180411.tex
@@ -105,6 +105,10 @@ L'usage des appareils électroniques est interdit.
 
 Durée : 2h
 
+Barème \emph{indicatif} : exercice 1 : $3$ points ; exercice 2 :
+$4$ points ; exercice 3 : $10$ points ; exercice 4 : $3$ points ;
+points bonus : comme indiqué.
+
 \emph{Avertissement :} Les exercices ne sont pas tous une application
 immédiate du cours ; il est parfois nécessaire de s'inspirer des
 techniques ou raisonnements vus en cours pour raisonner dans des
@@ -120,6 +124,38 @@ Git: \input{vcline.tex}
 \pagebreak
 
 
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+On considère le jeu à deux joueurs dans lequel les joueurs choisissent
+indépendamment chacun une option parmi les quatre possibilités
+« Terre », « Eau », « Air » et « Feu », et reçoivent des gains donnés
+par le tableau suivant :
+
+\begin{center}
+\begin{tabular}{r|cccc}
+$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&Terre&Eau&Air&Feu\\\hline
+Terre&$0,0$&$-1,+1$&$+2,-2$&$+1,-1$\\
+Eau&$+1,-1$&$0,0$&$-1,+1$&$+2,-2$\\
+Air&$-2,+2$&$+1,-1$&$0,0$&$-1,+1$\\
+Feu&$-1,+1$&$-2,+2$&$+1,-1$&$0,0$\\
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+(Le choix d'Alice détermine la ligne du tableau, celui de Bob
+détermine la colonne ; la case correspondante indique d'abord le gain
+d'Alice, puis celui de Bob.)
+
+Montrer (c'est-à-dire, vérifier) que la stratégie optimale à ce jeu
+consiste à jouer « Eau » avec probabilité $\frac{1}{2}$, et chacun de
+« Terre » et « Air » avec probabilité $\frac{1}{4}$ (et ne jamais
+jouer « Feu »).
+
+
+
 %
 %
 %
@@ -217,6 +253,8 @@ déterminer quel joueur a une stratégie gagnante.  Traiter l'exemple de
 la situation initiale où un pion est placé en chacun des sommets
 $a,b,d,e$ (soit quatre pions au total).
 
+(Les questions (3), (4) et (5) sont indépendantes.)
+
 (3) On modifie maintenant encore un peu le jeu : comme dans la
 question (2), il y a plusieurs pions sur le graphe, mais maintenant,
 au lieu de déplacer un pion, un joueur peut aussi choisir d'en retirer
@@ -278,10 +316,10 @@ demande pas de majorer le nombre de coups en fonction de $N$).
 Vous disposez de deux options : indiquez clairement sur votre copie si
 vous souhaitez
 \begin{itemize}
-\item[(E)] obtenir $1$ point pour cette question, qui sera compté
-  dans votre note, ou bien
-\item[(A)] obtenir $2$ points pour cette question, qui seront
-  mutualisés entre tous les participants.
+\item[(E)] obtenir $1$ point supplémentaire, qui sera ajouté à votre
+  note, ou bien
+\item[(A)] obtenir $2$ points, qui seront mutualisés entre tous les
+  participants à l'épreuve.
 \end{itemize}
 
 
-- 
cgit v1.2.3

