From 4b111f4a5720fcadc331cc3b5185b4e503b56bce Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Fri, 5 Apr 2019 00:43:32 +0200
Subject: Re-read exam.

---
 controle-20190408.tex | 246 ++++++++++++++++++++++++++++----------------------
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--- a/controle-20190408.tex
+++ b/controle-20190408.tex
@@ -87,9 +87,9 @@ dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître de façon
 très visible dans les copies où commence chaque exercice.
 
 La longueur du sujet ne doit pas effrayer : d'une part, l'énoncé est
-long car des rappels ont été faits et que la rédaction des questions
-cherche à éviter toute ambiguïté ; d'autre part, il ne sera pas
-nécessaire de tout traiter pour obtenir la totalité des points
+long parce que des rappels ont été faits et que la rédaction des
+questions cherche à éviter toute ambiguïté ; d'autre part, il ne sera
+pas nécessaire de tout traiter pour obtenir la totalité des points
 (cf. barème).
 
 \medbreak
@@ -177,12 +177,13 @@ qu'il décroît strictement à chaque tour.
 On associe à la position $J(n_1,\ldots,n_r)$ (définie en (2)
 ci-dessous), quitte à supposer $n_1>\cdots>n_r$ l'ordinal
 $\omega^{n_1} + \cdots + \omega^{n_r}$ ; ou, ce qui revient au même,
-s'il y a $r_n$ jetons de type $n$, on considère l'ordinal $\omega^N
-r_n + \cdots + \omega^1 r_1 + r_0$ où $N$ est le plus grand type d'un
-jeton sur la table.  Par la comparaison des ordinaux écrits en forme
-normale de Cantor, cet ordinal décroît à chaque coup (puisqu'on
-remplace un $\omega^n$ par des $\omega^{n'}$ avec $n' < n$).  Le jeu
-termine donc en temps fini.
+s'il y a $r_n := \#\{i : n_i = n\}$ jetons de type $n$, on considère
+l'ordinal $\omega^N r_n + \cdots + \omega^2 r_2 + \omega\, r_1 + r_0$
+où $N := \max\{n_i\}$ est le plus grand type d'un jeton sur la table.
+Par la comparaison des ordinaux écrits en forme normale de Cantor, cet
+ordinal décroît à chaque coup (puisqu'on remplace un $\omega^n$ par
+des $\omega^{n'}$ avec $n' < n$, la suite $(r_n,\ldots,r_0)$ décroît
+lexicographiquement).  Le jeu termine donc en temps fini.
 \end{corrige}
 
 \medskip
@@ -194,17 +195,20 @@ pourquoi $J(n_1,\ldots,n_r)$ peut s'identifier à la somme de nim des
 positions $J(n_1),\ldots,J(n_r)$ (où $J(n)$ désigne l'état du jeu
 ayant un unique jeton de type $n$).\quad(b) En déduire la valeur de
 Grundy $\gr J(n_1,\ldots,n_r)$ de $J(n_1,\ldots,n_r)$ en fonction de
-celles $\gr J(n_i)$ des $J(n_i)$.\quad(c) Qui a une stratégie gagnante
+celles des $J(n_i)$.\quad(c) Qui a une stratégie gagnante
 dans une position du type $J(n,n)$ ?  Expliciter une telle stratégie
 en termes simples.
 
 (\emph{Convention :} $J()$ est le jeu nul dans lequel il ne reste plus
-aucun jeton.  Notamment, on a $\gr J() = 0$.)
+aucun jeton sur la table.  Notamment, on a $\gr J() = 0$.  On ne le
+confondra pas avec $J(0)$ où il reste un jeton de type $0$.)
 
 \begin{corrige}
 (a) Il s'agit simplement d'observer que les différents jetons
   n'interagissent pas du tout.  Jouer à la somme de nim de
-  $J(n_1),\ldots,J(n_r)$ revient donc à jouer à $J(n_1,\ldots,n_r)$.
+  $J(n_1),\ldots,J(n_r)$ revient à jouer sur $r$ tables différentes à
+  partir d'un jeton de type $n_i$ sur chacune, c'est équivalent à
+  jouer à $J(n_1,\ldots,n_r)$.
 
 (b) On en déduit que $\gr J(n_1,\ldots,n_r) = \gr(J(n_1) \oplus \cdots
   \oplus J(n_r)) = \gr J(n_1) \oplus \cdots \oplus \gr J(n_r)$ (la
@@ -221,28 +225,26 @@ aucun jeton.  Notamment, on a $\gr J() = 0$.)
 
 \medskip
 
-(3)(a) Pour une règle de remplacement $\mathscr{R}$ donnée, en notant
-par exemple $\mathscr{R}_n$ l'ensemble (non vide) de tous les
-remplacements possibles d'un jeton de type $n$ (considérés comme des
-suites finies d'entiers $<n$), expliquer comment on peut calculer $\gr
-J(n)$ si on suppose connus tous les $\gr J(n')$
+(3)(a) Pour une règle de remplacement donnée, expliquer comment se
+calcule $\gr J(n)$ si on suppose connus tous les $\gr J(n')$
 pour $n'<n$.\quad(b) On rappelle que le seul remplacement possible
-d'un jeton de type $0$ est de l'enlever purement et simplement (i.e.,
-$\mathscr{R}_0 = \{()\}$ si on veut) : en déduire la valeur de $\gr
-J(0)$ et celle de $\gr J(0,\ldots,0)$ (avec, disons, $r$ jetons de
-type $0$).
+d'un jeton de type $0$ est de l'enlever purement et simplement : en
+déduire la valeur de $\gr J(0)$ et celle de $\gr J(0,\ldots,0)$ (où il
+y a $r$ jetons de type $0$).
 
 \begin{corrige}
 (a) Puisque $\gr x$, pour une position $x$ d'un jeu combinatoire
   impartial bien-fondé, vaut $\mex\{\gr y : y\in\outnb(x)\}$, on a ici
-  $\gr J(n) = \mex\{\gr J(y) : y\in\mathscr{R}_n\}$, c'est-à-dire $\gr
-  J(n) = \mex\{\gr J(n'_1) \oplus \cdots \oplus \gr J(n'_r) :
-  (n'_1,\ldots,n'_r)\in\mathscr{R}_n\}$ d'après (2)(b).
-
-(b) Dans le cas de $n=0$, on trouve $\gr J(0) = \mex\{0\} = 1$, et par
-  conséquent $\gr J(0,\ldots,0) = 1\oplus \cdots\oplus 1$ vaut
-  $0$ ou $1$ selon que $r$ est pair ou impair (si l'on veut,
-  $\frac{1}{2}(1+(-1)^r)$).
+  $\gr J(n) = \mex\{\gr J(n'_1,\ldots,n'_r) : J(n'_1,\ldots,n'_r)
+  \in\outnb J(n)\}$, c'est-à-dire $\gr J(n) = \mex\{\gr J(n'_1) \oplus
+  \cdots \oplus \gr J(n'_r) : J(n'_1,\ldots,n'_r)\in\outnb J(n)\}$
+  d'après (2)(b) ; la règle de remplacement consiste justement à
+  décrire les $J(n'_1,\ldots,n'_r)\in\outnb J(n)$.
+
+(b) Dans le cas de $n=0$, comme $\outnb J(0) = \{J()\}$, on trouve
+  $\gr J(0) = \mex\{0\} = 1$, et par conséquent $\gr J(0,\ldots,0) =
+  1\oplus \cdots\oplus 1$ vaut $0$ ou $1$ selon que $r$ est pair ou
+  impair.
 \end{corrige}
 
 \medskip
@@ -277,27 +279,28 @@ jeu considéré dans cette question.
   somme de nim) de $r$ valeurs $1$ si $r$ est le nombre de jetons de
   type pair, et $r'$ valeurs $2$ si $r'$ est le nombre de jetons de
   type impair : ce nombre vaut $0$, $1$, $2$ ou $3$ selon que $r$ et
-  $r'$ sont tous les deux pairs, que $r$ est impair et $r'$ pair, le
-  contraire, ou qu'ils sont tous les deux impairs.  La stratégie
-  gagnante consiste donc à jouer de façon que le nombre $r$ de jetons
-  de type pair et le nombre $r'$ de jetons de type impair soient tous
-  les deux pairs (de façon à annuler Grundy).
+  $r'$ sont tous les deux pairs, que $r$ est impair et $r'$ pair,
+  qu'on a le contraire, ou qu'ils sont tous les deux impairs.  La
+  stratégie gagnante consiste donc à jouer de façon que le nombre $r$
+  de jetons de type pair et le nombre $r'$ de jetons de type impair
+  soient tous les deux pairs (de façon à annuler Grundy).
 \end{corrige}
 
 \medskip
 
 (5) On suppose dans cette question que la règle de remplacement est la
 suivante : un joueur peut remplacer un jeton de type $n$ par un nombre
-quelconque (y compris $0$) de jetons de type $k<n$, mais le type doit
-être le même pour tous les jetons remplacés.  (Autrement dit, à chaque
-coup, le joueur retire un jeton de type $n$ et si $n>0$ il ajoute
-ensuite, optionnellement, le nombre qu'il souhaite de jetons d'un même
-type $k\leq n-1$.  Par exemple, on peut remplacer un jeton de
-type $1729$ par $42$ jetons de type $1728$ ou $1728$ jetons de
-type $42$ ; on peut aussi le retirer sans remplacement.)  Dans ces
-conditions, que vaut $\gr J(n)$ ?  (On pourra par exemple commencer
-par calculer $\gr J(n)$ pour $n=0,1,2,3$, conjecturer une formule
-générale, et la démontrer par récurrence sur $n$.)
+quelconque (y compris $0$) de jetons de type $k<n$, le type $k$
+pouvant être quelconque mais doit être le même pour tous les jetons
+posés.  (Autrement dit, à chaque coup, le joueur retire un jeton de
+type $n$ et si $n>0$ il ajoute ensuite, optionnellement, le nombre
+qu'il souhaite de jetons d'un même type $k\leq n-1$.  Par exemple, on
+peut remplacer un jeton de type $1729$ par $42$ jetons de type $1728$
+ou $1728$ jetons de type $42$ ; on peut aussi le retirer sans
+remplacement.)  Dans ces conditions, que vaut $\gr J(n)$ ?  (On pourra
+par exemple commencer par calculer $\gr J(n)$ pour $n=0,1,2,3$,
+conjecturer une formule générale, et la démontrer par récurrence
+sur $n$.)
 
 \begin{corrige}
 On a vu en (3)(b) que $\gr J(0,\ldots,0)$ vaut $0$ ou $1$ selon que le
@@ -318,7 +321,8 @@ qu'on vient de faire.
 
 (6) On suppose dans cette question que la règle de remplacement est la
 suivante : un joueur peut remplacer un jeton de type $n$ par un nombre
-quelconque (y compris $0$) de jetons de types $<n$.  (Autrement dit, à
+quelconque (y compris $0$) de jetons de types $<n$, qui cette fois
+n'ont pas d'obligation d'être tous du même type.  (Autrement dit, à
 chaque coup, le joueur retire un jeton de type $n$ et si $n>0$ il
 ajoute ensuite, optionnellement, le nombre qu'il souhaite de jetons de
 n'importe quels types $<n$.  Par exemple, on peut remplacer un jeton
@@ -364,7 +368,7 @@ On définit une opération binaire $\alpha\boxplus\beta$ (appelée
 notés $\alpha,\beta$) par la formule suivante :
 \[
 \alpha \boxplus \beta = \sup\nolimits^+ \Big( \{\alpha'\boxplus\beta :
-\alpha' < \alpha\} \cup\, \{\alpha\boxplus\beta' : \beta' <
+\alpha' < \alpha\} \cup \{\alpha\boxplus\beta' : \beta' <
 \beta\}\Big)
 \]
 où on rappelle que $\sup^+ S$, si $S$ est un ensemble d'ordinaux,
@@ -405,12 +409,12 @@ $m,n<\omega$).\quad(c) Démontrer cette formule.
 (c) Montrons que $m\boxplus n = m + n$ pour tous $m,n\in\mathbb{N}$ :
   par récurrence (sur $m+n$), on peut supposer connu le fait que
   $m'\boxplus n = m' + n$ pour tout $m'<m$ et $m\boxplus n' = m + n'$
-  pour tout $n'<n$, alors $m\boxplus n$.  On a alors $m \boxplus n =
-  \sup^+ \big( \{m' \boxplus n : m' < m\} \cup\, \{m \boxplus n' : n'
-  < n\}\big) = \sup^+ \big( \{m' + n : m' < m\} \cup\, \{m + n' : n' <
-  n\}\big)$ ; or l'ensemble dont on prend le $\sup^+$ ne contient que
-  des entiers $<m+n$ et contient $m+n-1$ donc ce $\sup^+$ vaut $m+n$,
-  ce qui conclut la récurrence.
+  pour tout $n'<n$.  On a alors $m \boxplus n = \sup^+ \big( \{m'
+  \boxplus n : m' < m\} \penalty0 \cup \penalty0 \{m \boxplus n' : n'
+  < n\}\big) = \sup^+ \big( \{m' + n : m' < m\} \penalty0 \cup
+  \penalty0 \{m + n' : n' < n\}\big)$ ; or l'ensemble dont on prend le
+  $\sup^+$ ne contient que des entiers $<m+n$ et contient $m+n-1$ donc
+  ce $\sup^+$ vaut $m+n$, ce qui conclut la récurrence.
 \end{corrige}
 
 \medskip
@@ -429,9 +433,10 @@ l'hypothèse.
 (a) Par induction transfinie sur $\alpha_1$ et $\alpha_2$, on prouve
   $\alpha_2\boxplus\alpha_1 = \alpha_1\boxplus\alpha_2$ : en effet,
   $\alpha_2\boxplus\alpha_1 = \sup^+ (\{\alpha_2\boxplus\beta_1:
-  \beta_1<\alpha_1\} \cup \{\beta_2\boxplus\alpha_1:
-  \beta_2<\alpha_2\})$, et par hypothèse d'induction ceci vaut $\sup^+
-  (\{\beta_1\boxplus\alpha_2: \beta_1<\alpha_1\} \cup
+  \beta_1<\alpha_1\} \penalty0 \cup \penalty0
+  \{\beta_2\boxplus\alpha_1: \beta_2<\alpha_2\})$, et par hypothèse
+  d'induction ceci vaut $\sup^+ (\{\beta_1\boxplus\alpha_2:
+  \beta_1<\alpha_1\} \penalty0 \cup \penalty0
   \{\alpha_1\boxplus\beta_2: \beta_2<\alpha_2\}) =
   \alpha_1\boxplus\alpha_2$.
 
@@ -455,7 +460,7 @@ l'hypothèse.
 On \underline{admettra} pour la suite que $\boxplus$ est associative,
 c'est-à-dire que $(\alpha_1\boxplus\alpha_2) \boxplus \alpha_3 =
 \alpha_1 \boxplus (\alpha_2\boxplus\alpha_3)$ quels que soient
-$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ ; et on admettra que
+$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ ; et on admettra aussi que
 $\alpha_1\boxplus\cdots\boxplus\alpha_n$ est le plus petit ordinal
 strictement supérieur à tous les
 $\alpha_1\boxplus\cdots\boxplus\beta_i\boxplus
@@ -479,10 +484,10 @@ question (1).
 Considérons l'affirmation suivante :
 
 {\narrower\noindent\leavevmode\llap{(*) }si $\alpha =
-  \omega^{\gamma_1} n_1 + \cdots + \omega^{\gamma_r} n_r$ (où
+  \omega^{\gamma_1} n_1 + \cdots + \omega^{\gamma_r} n_r$ où
   $\gamma_1 > \cdots > \gamma_r$ sont des ordinaux en ordre
   strictement décroissant et $n_1,\ldots,n_r$ des entiers naturels non
-  nuls ; c'est-à-dire qu'il s'agit de la forme normale de Cantor
+  nuls (c'est-à-dire qu'il s'agit de la forme normale de Cantor
   de $\alpha$), alors on a $\alpha = (\omega^{\gamma_1} \boxdot n_1)
   \boxplus \cdots \boxplus (\omega^{\gamma_r} \boxdot n_r)$\par}
 
@@ -493,18 +498,20 @@ c'est-à-dire qu'il s'agit de l'écriture binaire de $\alpha$, alors on
 a $\alpha = 2^{\gamma_1} \oplus \cdots \oplus 2^{\gamma_r}$).
 
 On pourrait démontrer (*) par induction transfinie sur $\alpha$.
-Comme c'est un peu fastidieux au niveau des notations, on va se
-contenter d'un cas représentatif :
+Comme c'est notationnellement un peu fastidieux, on va seulement, dans
+la question suivante, montrer un cas particulier assez représentatif
+de l'idée générale :
 
 \medskip
 
-(3)(a) Si $n_1 \geq 1$, expliquer pourquoi $(\omega\boxdot n_1)
+(3)(a) Pour $n_0,n_1 \in \mathbb{N}$, montrer que $(\omega\boxdot n_1)
 \boxplus n_0 = \sup^+ \big( \{(\omega\boxdot n'_1) \boxplus n_0' :
-n'_1 < n_1 \;\hbox{et}\; n'_0 \in\mathbb{N}\} \cup\, \{(\omega\boxdot
-n_1) \boxplus n_0' : n'_0 < n_0\}\big)$.\quad (b) Montrer par
-induction transfinie sur $\alpha$ que si $\alpha = \omega\, n_1 + n_0$
-où $n_0,n_1 \in \mathbb{N}$, alors $\alpha = (\omega \boxdot n_1)
-\boxplus n_0$.
+n'_1 < n_1 \;\hbox{et}\; n'_0 \in\mathbb{N}\} \penalty0 \cup
+\penalty0 \{(\omega\boxdot n_1) \boxplus n_0' : n'_0 <
+n_0\}\big)$.\quad (b) En déduire par induction transfinie sur $\alpha$
+que si $\alpha = \omega\, n_1 + n_0$ où $n_0,n_1 \in \mathbb{N}$,
+alors $\alpha = (\omega \boxdot n_1) \boxplus n_0$ (ceci est un cas
+particulier de (*)).
 
 \begin{corrige}
 (a) D'après ce qu'on a admis ci-dessus, $(\omega\boxdot n_1) \boxplus
@@ -513,28 +520,31 @@ où $n_0,n_1 \in \mathbb{N}$, alors $\alpha = (\omega \boxdot n_1)
   toutes les sommes naturelles obtenues en remplaçant un
   des ($n_1+n_0$) termes par un terme strictement plus petit,
   c'est-à-dire à tous les $(\omega\boxdot (n_1-1)) \boxplus b \boxplus
-  n_0$ pour $b<\omega$ et à $(\omega\boxdot n_1) \boxplus (n_0-1)$.
-  En se rappelant que $b \oplus n_0 = b + n_0$ (qui prend donc toutes
-  les valeurs $\geq n_0$) et qu'on a le droit d'insérer dans un
-  ensemble dont on prend le $\sup^+$ des nouveaux éléments qui sont
-  majorés par des éléments déjà dedans (et comme $\boxplus$ est
+  n_0$ pour $b<\omega$ (cas où on remplace un $\omega$ par $b$) et à
+  $(\omega\boxdot n_1) \boxplus (n_0-1)$ (cas où on remplace un $1$
+  par $0$).  En se rappelant que $b \boxplus n_0 = b + n_0$ (qui prend
+  donc toutes les valeurs $\geq n_0$) et qu'on a le droit d'insérer
+  dans un ensemble dont on prend le $\sup^+$ des nouveaux éléments qui
+  sont majorés par des éléments déjà dedans (et comme $\boxplus$ est
   croissante en chaque variable d'après (2)(c)), on peut écrire
   $(\omega\boxdot n_1) \boxplus n_0 = \sup^+ \big( \{(\omega\boxdot
   n'_1) \boxplus n_0' : n'_1 < n_1 \;\hbox{et}\; n'_0 \in\mathbb{N}\}
-  \cup\, \{(\omega\boxdot n_1) \boxplus n_0' : n'_0 < n_0\}\big)$
-  comme annoncé.
+  \penalty0 \cup \penalty0 \{(\omega\boxdot n_1) \boxplus n_0' : n'_0
+  < n_0\}\big)$ comme annoncé.
 
 (b) On procède par induction transfinie sur $\alpha = \omega n_1 +
   n_0$.  On veut montrer que $\alpha = (\omega \boxdot n_1) \boxplus
   n_0$.  Or, d'après ce qu'on vient de voir, $(\omega\boxdot n_1)
   \boxplus n_0 = \sup^+ \big( \{(\omega\boxdot n'_1) \boxplus n_0' :
-  n'_1 < n_1 \;\hbox{et}\; n'_0 \in\mathbb{N}\} \cup\,
-  \{(\omega\boxdot n_1) \boxplus n_0' : n'_0 < n_0\}\big)$.  D'après
-  l'hypothèse d'induction, et en utilisant le fait que les formes
-  normales de Cantor des ordinaux se comparent lexicographiquement,
-  ceci vaut encore $\sup^+ \big( \{\omega\, n'_1 + n_0' : n'_1 < n_1
-  \;\hbox{et}\; n'_0 \in\mathbb{N}\} \cup\, \{\omega\, n_1 + n_0' :
-  n'_0 < n_0\}\big)$, qui est bien $\omega n_1 + n_0$ comme souhaité.
+  n'_1 < n_1 \;\hbox{et}\; n'_0 \in\mathbb{N}\} \penalty0 \cup
+  \penalty0 \{(\omega\boxdot n_1) \boxplus n_0' : n'_0 < n_0\}\big)$.
+  D'après l'hypothèse d'induction, et en utilisant le fait que les
+  formes normales de Cantor des ordinaux se comparent
+  lexicographiquement, ceci vaut encore $\sup^+ \big( \{\omega\, n'_1
+  + n_0' : n'_1 < n_1 \;\hbox{et}\; n'_0 \in\mathbb{N}\} \penalty0
+  \cup \penalty0 \{\omega\, n_1 + n_0' : n'_0 < n_0\}\big)$, qui est
+  bien $\omega\, n_1 + n_0$ comme souhaité (il s'agit précisément du
+  $\sup^+$ de l'ensemble des ordinaux $<\omega\, n_1 + n_0$).
 \end{corrige}
 
 \medskip
@@ -546,25 +556,35 @@ particulier, calculer $(\omega+1)\boxplus(\omega+1)$, et comparer avec
 $(\omega+1) + (\omega+1)$.
 
 \begin{corrige}
-(a) En utilisant (*), on peut remplacer l'écriture en forme normale de
-  Cantor $\omega^{\gamma_1} n_1 + \cdots + \omega^{\gamma_r} n_r$ par
-  l'écriture analogue $(\omega^{\gamma_1} \boxdot n_1) \boxplus \cdots
-  \boxplus (\omega^{\gamma_r} \boxdot n_r)$ pour l'addition
-  naturelle ; en faisant ceci pour les deux ordinaux à ajouter, en
-  regroupant les puissances égales de $\omega$ et en convertissant de
-  nouveau en forme normale de Cantor (pour l'addition usuelle), on a
-  montré que la somme naturelle se fait en ajoutant simplement terme à
-  terme les formes normales de Cantor, i.e., on ajoute les chiffres
-  (=coefficients) de chaque puissance de $\omega$.
+(a) Soient $\alpha = \omega^{\gamma_1} p_1 + \cdots +
+  \omega^{\gamma_r} p_r$ et $\beta = \omega^{\gamma_1} q_1 + \cdots +
+  \omega^{\gamma_r} q_r$ (quitte à insérer des $p_i$ et $q_i$ nuls
+  dans la forme normale de Cantor) avec $\gamma_1 > \cdots >
+  \gamma_r$.  En utilisant (*), on peut écrire $\alpha =
+  (\omega^{\gamma_1} \boxdot p_1) \boxplus \cdots \boxplus
+  (\omega^{\gamma_r} \boxdot p_r)$ et $\beta = (\omega^{\gamma_1}
+  \boxdot q_1) \boxplus \cdots \boxplus (\omega^{\gamma_r} \boxdot
+  q_r)$.  En utilisant la commutativité et l'associativité
+  de $\boxdot$ et en regroupant les puissances égales de $\omega$, on
+  obtient $\alpha \boxplus \beta = (\omega^{\gamma_1} \boxdot
+  (p_1+q_1)) \boxplus \cdots \boxplus (\omega^{\gamma_r} \boxdot
+  (p_r+q_r))$.  Et quitte à utiliser de nouveau (*), on trouve $\alpha
+  \boxplus \beta = \omega^{\gamma_1} (p_1+q_1) + \cdots +
+  \omega^{\gamma_r} (p_r+q_r)$.  On a ainsi montré que la somme
+  naturelle se fait en ajoutant simplement terme à terme les formes
+  normales de Cantor, i.e., on ajoute les chiffres (=coefficients) de
+  chaque puissance de $\omega$.
 
 (b) En particulier, $(\omega+1)\boxplus(\omega+1) = \omega\,2 + 2$
   (qui est aussi $(\omega\boxdot 2)\boxplus 2$ comme on l'a vu), alors
   que $(\omega+1) + (\omega+1) = \omega + (1+\omega) + 1 = \omega +
-  \omega + 1 = \omega\,2 + 1$.
+  \omega + 1 = \omega\,2 + 1$ est strictement plus petit.
 \end{corrige}
 
 \medskip
 
+(La question qui suit ne fait pas appel aux questions (3) et (4).)
+
 (5) On considère le jeu à deux joueurs suivant : les deux joueurs
 s'appellent Blaise et Roxane, et ils jouent tour à tour (on ne précise
 pas qui commence) ; l'état du jeu est défini par trois ordinaux, qu'on
@@ -584,7 +604,7 @@ possède une stratégie gagnante lorsque $\rho = \alpha\boxplus\beta$.
 
 \begin{corrige}
 On procède par induction transfinie (sur
-$\alpha\boxdot\beta\boxdot\rho$, si l'on veut) : on peut supposer la
+$\alpha\boxplus\beta\boxplus\rho$, si l'on veut) : on peut supposer la
 conclusion déjà connue pour tous les $(\alpha',\beta,\rho)$,
 $(\alpha,\beta',\rho)$ et $(\alpha,\beta,\rho')$ tels que dans la
 question.
@@ -594,21 +614,27 @@ définition de $\alpha\boxplus\beta$, il existe un
 $\alpha'\boxplus\beta$ avec $\alpha'<\alpha$ ou $\alpha\boxplus\beta'$
 avec $\beta'<\beta$ qui majore $\rho$ (au sens large), et Blaise peut
 faire le coup correspondant $(\alpha',\beta,\rho)$ ou
-$(\alpha,\beta',\rho)$ auquel cas il aura une stratégie gagnante par
-hypothèse d'induction ; si $\rho \geq \alpha\boxplus\beta$, alors quel
-que soit le coup $(\alpha',\beta,\rho)$ ou $(\alpha,\beta',\rho)$ fait
-par Blaise, on aura $\rho > \alpha'\boxplus\beta$ ou $\rho >
-\alpha\boxplus\beta'$ donc Roxane aura une stratégie gagnante.
+$(\alpha,\beta',\rho)$ auquel cas il aura une stratégie gagnante comme
+second joueur par hypothèse d'induction ; si $\rho \geq
+\alpha\boxplus\beta$, alors quel que soit le coup
+$(\alpha',\beta,\rho)$ ou $(\alpha,\beta',\rho)$ fait par Blaise, on
+aura $\rho > \alpha'\boxplus\beta$ ou $\rho > \alpha\boxplus\beta'$
+donc Roxane aura une stratégie gagnante par hypothèse d'induction.
 
 Si Roxane joue en premier : si $\rho > \alpha\boxplus\beta$, alors
 elle peut jouer vers $(\alpha,\beta,\rho')$ avec $\rho' =
-\alpha\boxplus\beta$, auquel cas elle aura une stratégie gagnante par
-hypothèse d'induction.  Si $\rho \leq \alpha\boxplus\beta$, alors quel
-que soit le coup qu'elle fait, elle arrivera à un
-$(\alpha,\beta,\rho')$ avec $\rho' < \alpha\boxplus\beta$ auquel cas
-Blaise a une stratégie gagnante par hypothèse d'induction.
+\alpha\boxplus\beta$, auquel cas elle comme second joueur aura une
+stratégie gagnante par hypothèse d'induction.  Si $\rho \leq
+\alpha\boxplus\beta$, alors quel que soit le coup qu'elle fait, elle
+arrivera à un $(\alpha,\beta,\rho')$ avec $\rho' <
+\alpha\boxplus\beta$ auquel cas Blaise a une stratégie gagnante par
+hypothèse d'induction.
 \end{corrige}
 
+{\footnotesize Autrement dit, on a montré que l'addition des « nombres
+  (surréels) » de Conway coïncide, dans le cas particulier des
+  ordinaux, avec l'opération $\boxplus$ de somme naturelle.\par}
+
 
 %
 %
@@ -637,12 +663,12 @@ matrice des gains d'Alice vaut :
 
 \begin{center}
 \begin{tabular}{r|ccccc}
-$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&$\mathtt{0}$&$\mathtt{1}$&$\mathtt{2}$&$\mathtt{3}$&$\mathtt{4}$\\\hline
-$\mathtt{0}$&$0$&$-1$&$-1$&$-1$&$+1$\\
-$\mathtt{1}$&$+1$&$0$&$-1$&$-1$&$-1$\\
-$\mathtt{2}$&$+1$&$+1$&$0$&$-1$&$-1$\\
-$\mathtt{3}$&$+1$&$+1$&$+1$&$0$&$-1$\\
-$\mathtt{4}$&$-1$&$+1$&$+1$&$+1$&$0$\\
+$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&${0}$&${1}$&${2}$&${3}$&${4}$\\\hline
+${0}$&$0$&$-1$&$-1$&$-1$&$+1$\\
+${1}$&$+1$&$0$&$-1$&$-1$&$-1$\\
+${2}$&$+1$&$+1$&$0$&$-1$&$-1$\\
+${3}$&$+1$&$+1$&$+1$&$0$&$-1$\\
+${4}$&$-1$&$+1$&$+1$&$+1$&$0$\\
 \end{tabular}
 \end{center}
 
@@ -697,8 +723,8 @@ dans $\{0, n-2, n-1\}$.  Si on appelle $p_0, p_{-2}, p_{-1}$ les
 probabilités respectives de ces options dans $s$, on sait que $s$ doit
 avoir une espérance de gain nulle contre $s_0$, donc contre chacune
 des options pures $0$, $n-2$ et $n-1$, ce qui donne $p_{-2} = p_{-1}$,
-$p_{-1} = p_0$ et $p_0 = p_{-2}$, bref, la seule possibilité est
-$p_{-2} = p_{-1} = p_0 = \frac{1}{3}$.
+$p_{-1} = p_0$ et $p_0 = p_{-2}$, bref, la seule possibilité est $p_0
+= p_{-2} = p_{-1} = \frac{1}{3}$.
 \end{corrige}
 
 
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cgit v1.2.3

