From 589989d9cf9c450d18f648a2f298447adf51ad3c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Thu, 4 Apr 2019 21:02:19 +0200
Subject: Write answers to third exercise.

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 controle-20190408.tex | 68 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-----
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+++ b/controle-20190408.tex
@@ -625,20 +625,76 @@ nulle a une valeur de $0$ pour les deux joueurs.)
 matrice de gains dans le cas $n=5$.  Pour des raisons de symétrie,
 quelle est la valeur du jeu ?
 
-(2) Montrer qu'une stratégie mixte optimale consiste à jouer chacune
-des options $0$, $n-2$ et $n-1$ avec probabilité $\frac{1}{3}$ (et
-jamais les autres).  On l'appellera $s_0$.
+\begin{corrige}
+Il s'agit d'un jeu en forme normale et à somme nulle.  Pour $n=5$, la
+matrice des gains d'Alice vaut :
+
+\begin{center}
+\begin{tabular}{r|ccccc}
+$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&$\mathtt{0}$&$\mathtt{1}$&$\mathtt{2}$&$\mathtt{3}$&$\mathtt{4}$\\\hline
+$\mathtt{0}$&$0$&$-1$&$-1$&$-1$&$+1$\\
+$\mathtt{1}$&$+1$&$0$&$-1$&$-1$&$-1$\\
+$\mathtt{2}$&$+1$&$+1$&$0$&$-1$&$-1$\\
+$\mathtt{3}$&$+1$&$+1$&$+1$&$0$&$-1$\\
+$\mathtt{4}$&$-1$&$+1$&$+1$&$+1$&$0$\\
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+Pour des raisons de symétrie (la matrice étant antisymétrique,
+c'est-à-dire que les deux joueurs sont dans la même situation
+vis-à-vis du jeu), la valeur du gain vaut $0$.
+\end{corrige}
+
+(2) On considère la stratégie mixte consistant à jouer chacune des
+options $0$, $n-2$ et $n-1$ avec probabilité $\frac{1}{3}$ (et jamais
+les autres).  On l'appellera $s_0$.  Si Alice joue selon cette
+stratégie $s_0$ et si Bob joue l'option $i$, quel est le gain espéré
+d'Alice en fonction de $i$ ?
+
+\begin{corrige}
+Si Bob joue $0$, Alice obtient le gain espéré $\frac{1}{3}(0 + 1 - 1)
+= 0$.  Si Bob joue une option entre $1$ et $n-3$ inclus, Alice obtient
+le gain espéré $\frac{1}{3}(-1 + 1 + 1) = \frac{2}{3} > 0$.  Si Bob
+joue $n-2$, Alice obtient le gain espéré $\frac{1}{3}(-1 + 0 + 1) =
+0$.  Si Bob joue $n-1$, Alice obtient le gain espéré $\frac{1}{3}(+1 -
+1 + 0) = 0$.
+\end{corrige}
 
-(3) Si Alice joue selon la stratégie $s_0$ décrite en (2) et si Bob
-joue l'option $i$, quel est le gain espéré de Bob en fonction de $i$ ?
+(3) Pourquoi $s_0$ est-elle une stratégie optimale ?
 
-(4) Déduire de (3) qu'aucune stratégie optimale ne peut avoir une
+\begin{corrige}
+Pour vérifier que $s_0$ est optimale, il s'agit de vérifier qu'elle
+réalise au moins la valeur du jeu contre toute option (=stratégie
+pure) de l'adversaire.  C'est ce qu'on vient de faire puisque la
+valeur du jeu est $0$.
+\end{corrige}
+
+(4) Déduire de (2) qu'aucune stratégie optimale ne peut avoir une
 option autre que $0$, $n-2$ ou $n-1$ dans son support.  (On pourra
 faire jouer une telle stratégie contre $s_0$.)
 
+\begin{corrige}
+Si $t$ est une stratégie ayant une autre option que $0$, $n-2$
+et $n-1$ dans son support, les espérances trouvées en (2) montrent que
+son espérance de gain contre $s_0$ est strictement négative
+(strictement positive pour le joueur qui applique $s_0$, donc
+strictement négative pour celui qui applique $t$).  Donc $t$ ne peut
+pas être optimale.
+\end{corrige}
+
 (5) Montrer que la stratégie $s_0$ décrite en (2) est la seule
 stratégie optimale de ce jeu.
 
+\begin{corrige}
+On vient de voir que toute stratégie optimale $s$ a un support inclus
+dans $\{0, n-2, n-1\}$.  Si on appelle $p_0, p_{-2}, p_{-1}$ les
+probabilités respectives de ces options dans $s$, on sait que $s$ doit
+avoir une espérance de gain nulle contre $s_0$, donc contre chacune
+des options pures $0$, $n-2$ et $n-1$, ce qui donne $p_{-2} = p_{-1}$,
+$p_{-1} = p_0$ et $p_0 = p_{-2}$, bref, la seule possibilité est
+$p_{-2} = p_{-1} = p_0 = \frac{1}{3}$.
+\end{corrige}
+
 
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cgit v1.2.3

