From d6407cdedca4903910adccceba8864e2598efb03 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Thu, 4 Apr 2019 17:11:35 +0200
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 controle-20190408.tex | 36 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++
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+++ b/controle-20190408.tex
@@ -351,6 +351,42 @@ gagnante lorsque $\rho < \alpha\boxplus\beta$, et que le second joueur
 possède une stratégie gagnante lorsque $\rho = \alpha\boxplus\beta$.
 
 
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+Soit $n\geq 3$ un entier naturel.  On considère le jeu suivant : Alice
+et Bob choisissent chacun en secret un entier naturel $0\leq i\leq
+n-1$ et le révèlent simultanément.  Si les deux nombres sont égaux, la
+partie est nulle ; sinon, le gagnant est celui qui a choisi le plus
+grand, \emph{sauf} dans le cas où un joueur a choisi $n-1$ et l'autre
+joueur a choisi $0$, et alors c'est celui qui a choisi $0$ qui gagne.
+
+(On considérera qu'un gain apporte une valeur de $+1$ à celui qui
+gagne, une perte une valeur de $-1$ à celui qui perd, et qu'une partie
+nulle a une valeur de $0$ pour les deux joueurs.)
+
+(1) De quelle sorte de jeu s'agit-il ?  Écrire explicitement sa
+matrice de gains dans le cas $n=5$.  Pour des raisons de symétrie,
+quelle est la valeur du jeu ?
+
+(2) Montrer qu'une stratégie mixte optimale consiste à jouer chacune
+des options $0$, $n-2$ et $n-1$ avec probabilité $\frac{1}{3}$ (et
+jamais les autres).  On l'appellera $s_0$.
+
+(3) Si Alice joue selon la stratégie $s_0$ décrite en (2) et si Bob
+joue l'option $i$, quel est le gain espéré de Bob en fonction de $i$ ?
+
+(4) Déduire de (3) qu'aucune stratégie optimale ne peut avoir une
+option autre que $0$, $n-2$ ou $n-1$ dans son support.  (On pourra
+faire jouer une telle stratégie contre $s_0$.)
+
+(5) Montrer que la stratégie $s_0$ décrite en (2) est la seule
+stratégie optimale de ce jeu.
+
+
 %
 %
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cgit v1.2.3

