From 010b5ab6db030c35807ff505fe2d53029a27cfc3 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Fri, 19 Jun 2020 18:12:49 +0200
Subject: Questions on normal-form games.

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 controle-2020qcm.tex | 93 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
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 \begin{qcm}
 
 
+%
+%
+%
+
+\begin{question}
+
+Considérons le jeu analogue à pierre-papier-ciseaux, sauf que les deux
+joueurs \emph{détestent} choisir tous les deux la même option, si bien
+que la matrice des gains est la suivante (ce n'est plus un jeu à somme
+nulle !) :
+
+\begin{center}
+\begin{tabular}{r|ccc}
+$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&Pierre&Papier&Ciseaux\\\hline
+Pierre&$-100,-100$&$-1,+1$&$+1,-1$\\
+Papier&$+1,-1$&$-100,-100$&$-1,+1$\\
+Ciseaux&$-1,+1$&$+1,-1$&$-100,-100$\\
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+On considère deux profils de stratégies mixtes : (x) Alice et Bob
+jouent tous les deux une option entre pierre, papier ou ciseaux
+choisie aléatoirement avec probabilité $\frac{1}{3}$ (comme la
+stratégie optimale dans le cas du jeu à somme nulle) ; et : (y) Alice
+et Bob jouent tous les deux : papier avec probabilité $\frac{101}{200}
+= 0.505$, pierre avec probabilité $\frac{99}{200} = 0.495$ et jamais
+ciseaux.  Que pensez-vous de ces deux profils ?
+
+\rightanswer
+(x) est un équilibre de Nash, mais (y) n'en est pas un
+
+\answer
+(x) n'est pas un équilibre de Nash, mais (y) en est un
+
+\answer
+(x) et (y) sont tous les deux des équilibres de Nash
+
+\answer
+ni (x) ni (y) n'est un équilibre de Nash
+
+\end{question}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{question}
+
+Ambre et Bastien ($8$ ans) jouent à
+pierre-papier-ciseaux-éléphant-souris, dont les règles sont les
+suivantes : chacun choisit une des cinq options (pierre, papier,
+ciseau, éléphant ou souris) indépendamment de l'autre, et
+\begin{itemize}
+\item si les deux joueurs ont choisi la même option, le jeu est nul,
+  sinon :
+\item si les deux joueurs ont choisi parmi pierre, papier ou ciseaux,
+  le gagnant est déterminé comme à pierre-papier-ciseaux (i.e., le
+  papier gagne sur la pierre, les ciseaux gagnent sur le papier et la
+  pierre gagne sur les ciseaux),
+\item l'éléphant gagne sur tout sauf la souris,
+\item la souris gagne sur l'éléphant et perd contre tout le reste.
+\end{itemize}
+(On accordera la valeur $+1$ au fait de gagner, $-1$ au fait de
+perdre, et $0$ à un match nul.)
+
+Quelle est la stratégie optimale à ce jeu ?
+
+\rightanswer
+jouer chacun de pierre, papier et ciseaux avec probabilité
+$\frac{1}{9}$, éléphant avec probabilité $\frac{1}{3}$ et souris avec
+probabilité $\frac{1}{3}$
+
+\answer
+jouer chacun de pierre, papier et ciseaux avec probabilité
+$\frac{1}{3}$, et jamais éléphant ni souris
+
+\answer
+jouer chacun de pierre, papier, ciseaux avec probabilité
+$\frac{1}{6}$, éléphant avec probabilité $\frac{1}{2}$ et jamais
+souris
+
+\answer
+jouer chacun de pierre, papier et ciseaux avec probabilité
+$\frac{1}{4}$, éléphant avec probabilité $\frac{1}{8}$ et souris avec
+probabilité $\frac{1}{8}$
+
+\answer
+jouer chacune des cinq options avec probabilité $\frac{1}{5}$
+
+\end{question}
+
+
 %
 %
 %
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cgit v1.2.3

