From 96e6a4283ad0043a0798f37af5d9dc220ce318fd Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Wed, 9 Jun 2021 20:27:42 +0200
Subject: Answer to question (3) of test was incomplete.

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 controle-20210412.tex | 24 ++++++++++++++++++++++++
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+++ b/controle-20210412.tex
@@ -346,6 +346,30 @@ bout : montrons que $m\leq n$ implique $\gamma_m \leq \gamma_n$ par
 récurrence sur $n\geq m$ : pour $n=m$ c'est évident, et si on a
 $\gamma_m \leq \gamma_n$, alors $\gamma_m \leq \gamma_n \leq
 \varphi(\gamma_n) = \gamma_{n+1}$ ce qui conclut la récurrence.)
+
+Montrons maintenant $\varphi(\gamma_\omega) = \gamma_\omega$.  Par
+continuité de $\varphi$, on a $\varphi(\lim_{n\to\omega} \gamma_n) =
+\lim_{n\to\omega} \varphi(\gamma_n)$ (pour être tout à fait complet
+dans la démonstration de cette affirmation : $\gamma_\omega$ est par
+définition le plus petit ordinal supérieur ou égal à tous les
+$\gamma_n$ pour $n<\omega$, donc tout ordinal $\zeta<\gamma_\omega$
+est majoré par un $\gamma_n$ pour un certain $n<\omega$, et par
+croissance de $\varphi$ on a alors $\varphi(\zeta)$ majoré par
+$\varphi(\gamma_n)$, donc la borne supérieure des $\varphi(\gamma_n)$
+pour $n<\omega$ est aussi la borne supérieure des $\varphi(\zeta)$
+pour $\zeta<\gamma_\omega$ : or cette dernière borne supérieure est
+$\varphi(\gamma_omega)$ par continuité de $\varphi$, ce qui montre
+$\varphi(\gamma_\omega) = \lim_{n\to\omega} \varphi(\gamma_n)$),
+c'est-à-dire $\varphi(\gamma_\omega) = \lim_{n\to\omega} \gamma_{1+n}
+= \gamma_\omega$, comme affirmé.
+
+Enfin, si $\delta$ est un point fixe de $\varphi$ et $\delta \geq
+\alpha$, alors par récurrence sur $n$ on a $\delta \geq \gamma_n$ pour
+tout $n<\omega$ (le cas $n=0$ est l'hypothèse, et $\delta \geq
+\gamma_n$ implique $\varphi(\delta) \geq \varphi(\gamma_n)$ par
+croissance de $\varphi$, c'est-à-dire $\delta \geq \gamma_{n+1}$), ce
+qui donne $\delta \geq \gamma_\omega$ puisque $\gamma_\omega$ est la
+borne supérieure des $\gamma_n$ pour $n<\omega$.
 \end{corrige}
 
 La question (3) implique notamment : \emph{pour tout ordinal $\alpha$
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cgit v1.2.3

