From ddab94fdd5e11d796ab79e11eb86bb37bbf27b36 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Wed, 7 Apr 2021 14:46:56 +0200
Subject: Write answers to first exercise.

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 controle-20210412.tex | 108 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-----
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+++ b/controle-20210412.tex
@@ -134,11 +134,11 @@ choisit la colonne, sont opposés) :
 
 \begin{center}
 \begin{tabular}{r|rrrr}
-$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&P&Q&R&S\\\hline
-P&$0$&$1$&$-1$&$x$\\
-Q&$-1$&$0$&$2$&$-1$\\
-R&$1$&$-2$&$0$&$-1$\\
-S&$-x$&$1$&$1$&$0$\\
+$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&$\mathrm{P}$&$\mathrm{Q}$&$\mathrm{R}$&$\mathrm{S}$\\\hline
+$\mathrm{P}$&$0$&$1$&$-1$&$x$\\
+$\mathrm{Q}$&$-1$&$0$&$2$&$-1$\\
+$\mathrm{R}$&$1$&$-2$&$0$&$-1$\\
+$\mathrm{S}$&$-x$&$1$&$1$&$0$\\
 \end{tabular}
 \end{center}
 
@@ -148,26 +148,115 @@ toute stratégie (pure donc mixte) de l'adversaire.
 
 (0) Quelle est la valeur du jeu dans ce cas ?
 
+\begin{corrige}
+On a affaire à un jeu à somme nulle \emph{symétrique} (c'est-à-dire
+que sa matrice de gains est antisymétrique), donc la valeur du jeu est
+nulle.
+\end{corrige}
+
 (1) À quelle condition sur $x$ la stratégie $\frac{1}{2}\mathrm{P} +
 \frac{1}{4}\mathrm{Q} + \frac{1}{4}\mathrm{R}$ (consistant à choisir P
 avec probabilité $\frac{1}{2}$, et chacun de Q et R avec
 probabilité $\frac{1}{4}$) est-elle optimale ?
 
-(2) À quelle condition sur $x$ la stratégie $\frac{1}{x+2}\mathrm{P} +
-\frac{x}{x+2}\mathrm{R} + \frac{1}{x+2}\mathrm{S}$ (consistant à
+\begin{corrige}
+Ajoutons à la matrice des gains du jeu une ligne correspondant à la
+stratégie considérée :
+\begin{center}
+\begin{tabular}{r|rrrr}
+$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&$\mathrm{P}$&$\mathrm{Q}$&$\mathrm{R}$&$\mathrm{S}$\\\hline
+$\mathrm{P}$&$0$&$1$&$-1$&$x$\\
+$\mathrm{Q}$&$-1$&$0$&$2$&$-1$\\
+$\mathrm{R}$&$1$&$-2$&$0$&$-1$\\
+$\mathrm{S}$&$-x$&$1$&$1$&$0$\\\hline
+\hbox{\vrule height12pt depth5pt width0pt}$\frac{1}{2}\mathrm{P} + \frac{1}{4}\mathrm{Q} + \frac{1}{4}\mathrm{R}$&
+$0$&$0$&$0$&$\frac{x-1}{2}$\\
+\end{tabular}
+\end{center}
+Pour qu'elle réalise un gain au moins égal à la valeur du jeu,
+c'est-à-dire $\geq 0$, contre toute stratégie (pure donc mixte) de
+l'adversaire, il faut et il suffit donc que $\frac{x-1}{2} \geq 0$,
+c'est-à-dire $x\geq 1$.
+\end{corrige}
+
+(2) À quelle condition sur $x$ l'expression $\frac{1}{x+2}\,\mathrm{P} +
+\frac{x}{x+2}\,\mathrm{R} + \frac{1}{x+2}\,\mathrm{S}$ (consistant à
 choisir R avec probabilité $\frac{x}{x+2}$, et chacun de P et S avec
-probabilité $\frac{1}{x+2}$) est-elle optimale ?
+probabilité $\frac{1}{x+2}$) définit-elle une stratégie optimale ?
+
+\begin{corrige}
+L'expression $\frac{1}{x+2}\,\mathrm{P} + \frac{x}{x+2}\,\mathrm{R} +
+\frac{1}{x+2}\,\mathrm{S}$ définit une stratégie mixte lorsque ses
+coefficients sont positifs de somme $1$ : le fait qu'ils soient de
+somme $1$ est toujours vrai, et ils sont tous positifs lorsque $x\geq
+0$.
+
+Ajoutons à la matrice des gains du jeu une ligne correspondant à la
+stratégie en question :
+\begin{center}
+\begin{tabular}{r|rrrr}
+$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&$\mathrm{P}$&$\mathrm{Q}$&$\mathrm{R}$&$\mathrm{S}$\\\hline
+$\mathrm{P}$&$0$&$1$&$-1$&$x$\\
+$\mathrm{Q}$&$-1$&$0$&$2$&$-1$\\
+$\mathrm{R}$&$1$&$-2$&$0$&$-1$\\
+$\mathrm{S}$&$-x$&$1$&$1$&$0$\\\hline
+\hbox{\vrule height12pt depth5pt width0pt}$\frac{1}{x+2}\,\mathrm{P} +
+\frac{x}{x+2}\,\mathrm{R} + \frac{1}{x+2}\,\mathrm{S}$&
+$0$&$\frac{2(1-x)}{x+2}$&$0$&$0$\\
+\end{tabular}
+\end{center}
+Pour qu'elle réalise un gain au moins égal à la valeur du jeu,
+c'est-à-dire $\geq 0$, contre toute stratégie (pure donc mixte) de
+l'adversaire, il faut et il suffit donc que $\frac{2(1-x)}{x+2} \geq
+0$, c'est-à-dire $x\leq 1$, donc finalement $0\leq x\leq 1$.
+\end{corrige}
 
 (3) Donner une stratégie optimale lorsque $x\leq 0$.
 
+\begin{corrige}
+Lorsque $x\leq 0$, la stratégie pure $\mathrm{S}$ est optimale
+puisqu'elle réalise un gain $\geq 0$ contre toute stratégie (pure donc
+mixte) de l'adversaire.
+\end{corrige}
+
 (4) Dans chacun des cas $x=0$ et $x=1$, exhiber une infinité de
 stratégies optimales distinctes.
 
+\begin{corrige}
+Lorsque $x = 0$, on a trouvé deux stratégies optimales, à savoir
+$\frac{1}{2}\mathrm{P} + \frac{1}{2}\mathrm{S}$ (trouvée en (2)) et
+$\mathrm{S}$ (trouvée en (3)).  Toute combinaison convexe de ces deux
+stratégies optimales est donc encore optimale, c'est-à-dire
+$\frac{t}{2}\,\mathrm{P} + \frac{2-t}{2}\,\mathrm{S}$
+pour $t\in[0;1]$.
+
+Lorsque $x = 1$, on a trouvé deux stratégies optimales, à savoir
+$\frac{1}{2}\mathrm{P} + \frac{1}{4}\mathrm{Q} +
+\frac{1}{4}\mathrm{R}$ (trouvée en (1)) et $\frac{1}{3}\mathrm{P} +
+\frac{1}{3}\mathrm{R} + \frac{1}{3}\mathrm{S}$ (trouvée en (2)).
+Toute combinaison convexe de ces deux stratégies optimales est donc
+encore optimale, c'est-à-dire $\frac{2+t}{6}\,\mathrm{P} +
+\frac{t}{4}\,\mathrm{Q} + \frac{4-t}{12}\,\mathrm{R} +
+\frac{1-t}{3}\,\mathrm{S}$ pour $t\in[0;1]$.
+\end{corrige}
+
 (5) En supposant que $x$ ne soit pas un réel fixé mais \emph{tiré au
   hasard} selon une loi uniforme entre $0$ et $1$ une fois que les
 joueurs ont joué (autrement dit, si un joueur choisit P et l'autre S,
 le joueur qui a choisi P reçoit un gain aléatoire uniforme entre
-$0$ et $1$), quelle stratégie adopteriez-vous dans ce jeu ?
+$0$ et $1$ ; cet aléa est, évidemment, indépendant de tous ceux que
+les joueurs auraient pu utiliser dans la détermination de leur propre
+stratégie !), quelle stratégie adopteriez-vous dans ce jeu ?
+
+\begin{corrige}
+On cherche à maximiser le gain \emph{espéré} minimal contre toute
+stratégie de l'adversaire ; mais comme $x$ est indépendant des choix
+qu'ont pu faire les joueurs, on peut le remplacer par son espérance,
+c'est-à-dire que le jeu considéré revient à prendre $x = \frac{1}{2}$.
+D'après la question (2), une stratégie optimale est donnée par
+$\frac{2}{5}\mathrm{P} + \frac{1}{5}\mathrm{R} +
+\frac{2}{5}\,\mathrm{S}$.
+\end{corrige}
 
 
 %
@@ -185,6 +274,7 @@ sont $<\varepsilon_1$.  Les parties de cet exercice sont indépendantes
 
 \underline{Première partie.}
 
+\nobreak
 On définit une fonction $\varphi$ des ordinaux vers les ordinaux par
 $\varphi(\alpha) = \omega^\alpha$.  On rappelle que $\varphi$ est
 \emph{strictement croissante} (c'est-à-dire que si $\alpha < \beta$
-- 
cgit v1.2.3

