From 71173bdd18d60f5b253121b180186bd50becd453 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Thu, 7 Apr 2022 14:36:00 +0200
Subject: Re-read test.

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 controle-20220413.tex | 60 ++++++++++++++++++++++++++-------------------------
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+++ b/controle-20220413.tex
@@ -145,13 +145,14 @@ $D$&$x$, $v$&$y$, $y$\\\hline
 \end{tabular}
 \end{center}
 
-On se limitera à l'étude de $u>v$, ce qu'on supposera désormais.
+On se limitera à l'étude du cas où $u>v$, ce qu'on supposera
+désormais.
 
 (1) Expliquer brièvement pourquoi il ne change rien à l'analyse du jeu
-(p.ex., le calcul des équilibres de Nash) de remplacer tous les gains
+(p.ex., au calcul des équilibres de Nash) de remplacer tous les gains
 $t$ d'un joueur donné par $at+b$ où $a>0$ et $b$ est quelconque.  En
 déduire qu'on peut supposer, dans le jeu ci-dessus, que $u=1$ et
-$v=0$, ce qu'on fera désormais.
+$v=0$, ce qu'on fera désormais :
 
 \begin{center}
 \begin{tabular}{r|c|c|}
@@ -161,12 +162,12 @@ $D$&$x$, $0$&$y$, $y$\\\hline
 \end{tabular}
 \end{center}
 
-(2) À quelle condition $(C,C)$ (c'est-à-dire : Alice joue $C$ et Bob
-joue $C$) est-il un équilibre de Nash ?  À quelle condition $(D,D)$
-est-il un équilibre de Nash ?  À quelle condition $(C,D)$ est-il un
-équilibre de Nash ?  Qu'en est-il de $(D,C)$ ?  (À chaque fois, on
-demande des conditions sous forme d'inégalités portant sur
-$x$ et $y$.)
+(2) À quelle condition le profil $(C,C)$ (c'est-à-dire : Alice
+joue $C$ et Bob joue $C$) est-il un équilibre de Nash ?  À quelle
+condition $(D,D)$ est-il un équilibre de Nash ?  À quelle condition
+$(C,D)$ est-il un équilibre de Nash ?  Qu'en est-il de $(D,C)$ ?  (À
+chaque fois, on demande des conditions sous forme d'inégalités portant
+sur $x$ et $y$.)
 
 On suppose dans la suite (pour écarter des cas limites pénibles) que
 $x$ n'est pas exactement égal à $1$ et que $y$ n'est pas exactement
@@ -221,19 +222,21 @@ On s'intéresse ici à la variation suivante du jeu de nim (fini) :
 après avoir retiré des bâtonnets d'une ligne, un joueur peut en outre,
 s'il le souhaite, \emph{couper} la ligne en deux, ce qui crée deux
 lignes au lieu d'une, en répartissant comme il le veut les bâtonnets
-de la ligne initiale (après en avoir retiré au moins un).
+de la ligne initiale (après en avoir retiré au moins un) entre ces
+deux lignes.
 
 De façon plus formelle, l'état du jeu est donné par la liste des
 nombres $n_1,\ldots,n_r \in \mathbb{N}$ de bâtonnets des différentes
 lignes du jeu (on peut ignorer ceux pour lesquels $n_i=0$) ; et un
 coup du jeu consiste à choisir un $1\leq i\leq r$ et à remplacer $n_i$
-dans la liste soit par un entier $n' < n_i$, soit par \emph{deux}
-$n',n''$ tels que $n' + n'' < n_i$ (on peut d'ailleurs ne considérer
-que ce deuxième type de coup vu que prendre $n''=0$ revient à n'avoir
-que $n'$).  Comme d'habitude, le joueur qui ne peut pas jouer a perdu
-(i.e., le gagnant est celui qui retire le dernier bâtonnet) ; et la
-disposition des lignes ou des bâtonnets au sein d'une ligne n'a pas
-d'importance, seul compte leur nombre (et tout est fini).
+dans la liste soit par un entier neturels $n' < n_i$, soit par
+\emph{deux} entiers naturels $n',n''$ tels que $n' + n'' < n_i$ (on
+peut d'ailleurs ne considérer que ce deuxième type de coup puisque
+prendre $n''=0$ revient à n'avoir que $n'$).  Comme d'habitude, le
+joueur qui ne peut pas jouer a perdu (i.e., le gagnant est celui qui
+retire le dernier bâtonnet) ; et la disposition des lignes ou des
+bâtonnets au sein d'une ligne n'a pas d'importance, seul compte leur
+nombre (et tout est fini).
 
 (1) Expliquer pourquoi la valeur de Grundy de la position
 $(n_1,\ldots,n_r)$ du jeu est la somme de nim $f(n_1) \oplus \cdots
@@ -272,13 +275,13 @@ types d'arêtes).  Deux joueurs, Blaise et Roxane, alternent et chacun
 à son tour choisit une arête de l'arbre, bleue pour Blaise ou rouge
 pour Roxane, et l'efface, ce qui fait automatiquement disparaître du
 même coup tout le sous-arbre qui descendait de cette arête (voir
-figure).  L'arête choisie doit avoir la couleur associée au joueur
-(bleue pour Blaise, rouge pour Roxane), mais toutes les arêtes qui en
-descendent sont effacées quelle que soit leur couleur.  Le jeu se
-termine lorsque plus aucun coup n'est possible (c'est-à-dire que le
-joueur qui doit jouer n'a plus d'arête de sa couleur), auquel cas,
-selon la convention habituelle, le joueur qui ne peut plus jouer a
-perdu.
+figure).  L'arête choisie doit avoir la couleur associée au joueur,
+c'est-à-dire bleue pour Blaise ou rouge pour Roxane, mais toutes les
+arêtes qui en descendent sont effacées quelle que soit leur couleur.
+Le jeu se termine lorsque plus aucun coup n'est possible (c'est-à-dire
+que le joueur qui doit jouer n'a plus d'arête de sa couleur), auquel
+cas, selon la convention habituelle, le joueur qui ne peut plus jouer
+a perdu.
 
 À titre d'exemple, ceci illustre un coup possible de Roxane
 (effacement d'une arête rouge et de tout le sous-arbre qui en
@@ -377,10 +380,9 @@ v+1&\hbox{~si $v\geq 0$}\\
 \end{array}
 \right.
 \]
-\item[(d)] On a $v(T) > 0$ si et seulement si Blaise possède une
-  stratégie gagnante à partir de la position $T$ (qui que soit le
-  joueur qui commence), et $v(T) < 0$ lorsque c'est Roxane, et $v(T) =
-  0$ lorsque c'est le second joueur.
+\item[(d)] On a $v(T) \geq 0$ si et seulement si Blaise possède une
+  stratégie gagnante en jouant en second à partir de la position $T$,
+  et $v(T) \leq 0$ lorsque Roxane en possède une.
 \end{itemize}
 
 (2) Utiliser ces règles admises pour calculer la valeur de l'arbre
@@ -389,7 +391,7 @@ tracé à gauche dans la figure ci-dessus (avant effacement).  Pour
 d'indiquer à côté de chaque sommet la valeur du sous-arbre qui en
 descend, et à côté de chaque arête la valeur du sous-arbre avec
 l'arête en question.  En déduire qui a une stratégie gagnante dans
-cette position.
+cette position selon le joueur qui commence.
 
 \smallbreak
 
-- 
cgit v1.2.3

