From 7a223e6f1cca6866829108b41a464592360de475 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Tue, 16 Apr 2024 21:33:02 +0200
Subject: Minor fixes and clarifications.

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 controle-20240422.tex | 49 ++++++++++++++++++++++++++-----------------------
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+++ b/controle-20240422.tex
@@ -104,7 +104,7 @@ Durée : 2h
 \ifcorrige
 Ce corrigé comporte \textcolor{red}{xxx} pages (page de garde incluse).
 \else
-Cet énoncé comporte \textcolor{red}{xxx} pages (page de garde incluse).
+Cet énoncé comporte 3 pages (page de garde incluse).
 \fi
 
 \vfill
@@ -135,8 +135,8 @@ $Y$&$0$&$2$\\
 Un seul nombre a été inscrit dans chaque case car les gains des deux
 joueurs sont \emph{égaux}, et c'est ce nombre-là qui est écrit
 (attention, il ne s'agit pas d'un jeu à somme nulle, au contraire : au
-lieu d'être antagonistes, les intérêts des deux joueurs sont
-parfaitement alignés).
+lieu d'être opposés, les intérêts des deux joueurs sont parfaitement
+identiques).
 
 Étudier et déterminer tous les équilibres de Nash de ce jeu : on
 commencera par considérer ceux en stratégies pures, puis par
@@ -148,8 +148,8 @@ suivante : les deux joueurs ont le même ensemble d'options, notons-le
 $\{X_1,\ldots,X_N\}$, et ils ont le même gain $u_A(a,b) = u_B(a,b)$
 pour $a,b\in \{X_1,\ldots,X_N\}$, et de plus ce gain vaut $0$ lorsque
 $b\neq a$ et il vaut $g_i$ lorsque $a = b = X_i$, où tous les $g_i$
-sont des strictement positifs et distincts, disons $0 < g_1 < g_2 <
-\cdots < g_N$ pour fixer les idées.  Pour résumer :
+sont des réels strictement positifs et distincts, disons $0 < g_1 <
+g_2 < \cdots < g_N$ pour fixer les idées.  Pour résumer :
 \begin{center}
 \begin{tabular}{r|ccc}
 $\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&$X_1$&$\cdots$&$X_N$\\\hline
@@ -173,11 +173,11 @@ que $I=J$.
 jeu, en notant $p_1 X_1 + \cdots + p_N X_N$ la stratégie (mixte)
 d'Alice, montrer que les $g_i p_i$ tels que $p_i > 0$ (c'est-à-dire
 $X_i \in I$) sont tous égaux entre eux.  En déduire par symétrie le
-résultat analogue pour la stratégie de Bob.  En déduire qu'il existe
-au plus $2^N - 1$ équilibres de Nash, un pour chaque partie non vide
-$I$ de $\{X_1,\ldots,X_N\}$.
+résultat analogue pour la stratégie de Bob, donc qu'elles sont égales.
+En déduire qu'il existe au plus $2^N - 1$ équilibres de Nash, un pour
+chaque partie non vide $I$ de $\{X_1,\ldots,X_N\}$.
 
-\textbf{(c)} Vérifier que les stratégies mixtes décrites en (b) sont
+\textbf{(c)} Vérifier que les stratégies mixtes trouvées en (b) sont
 bien des équilibres de Nash du jeu, et conclure qu'il a exactement
 $2^N - 1$ équilibres de Nash, qu'on décrira explicitement.
 
@@ -197,7 +197,8 @@ le jeu.  Ils sont supposés connus des deux joueurs.)
 Chaque joueur quand vient son tour choisit un élément $x_i \in X$ :
 plus exactement, Alice choisit $x_0$, puis Bob choisit $x_1$, puis
 Alice choisit $x_2$, et ainsi de suite.  Il n'y a aucune contrainte
-sur le choix du $x_i$.
+sur le choix du $x_i$ et chacun a connaissance de tous les coups
+antérieurs.
 
 Au bout d'un nombre infini de tours, on considère le réel
 \[
@@ -225,25 +226,27 @@ joueurs a une stratégie gagnante.
 Montrer que si $\psi(\dblunderline{x}) = u$ et $\varepsilon > 0$,
 alors il existe $\ell \in \mathbb{N}$ tel que toute suite
 $\dblunderline{y}$ commençant par $x_0,\ldots,x_{\ell-1}$ vérifie
-$|\psi((y_i))-u| < \varepsilon$.  (Autrement dit, il existe $\ell$ tel
-que l'image du $\ell$-ième voisinage fondamental
+$|\psi(\dblunderline{y})-u| < \varepsilon$.  Autrement dit, il existe
+$\ell$ tel que l'image du $\ell$-ième voisinage fondamental
 $V_\ell(\dblunderline{x})$ de $\dblunderline{x}$ par $\psi$ soit
-incluse dans la boule ouverte $B_\varepsilon(u) =
+incluse dans la boule ouverte $B_\varepsilon(u) :=
 \mathopen]u-\varepsilon,u+\varepsilon\mathclose[$.
-\emph{Indication :} s'inspirer de la note en bas de
-page \ref{footnote-series-converges}.)
+(\emph{Indication :} s'inspirer de la note en bas de
+    page \ref{footnote-series-converges}.)
 
 \textbf{(2)} En déduire que si $U \subseteq \mathbb{R}$ est ouvert (au
-sens de la topologie usuelle des réels), alors l'image réciproque
-$\psi^{-1}(U) \subseteq X^{\mathbb{N}}$ est ouverte (au sens de la
-topologie produit de la topologie discrète sur $X^{\mathbb{N}}$, qu'on
-a considérée en cours).
+sens de la topologie usuelle des réels\footnote{Rappel : $U \subseteq
+\mathbb{R}$ est ouvert lorsque pour tout $u\in U$ il existe
+$\varepsilon>0$ tel que $B_\varepsilon(u) \subseteq U$.}), alors
+l'image réciproque $\psi^{-1}(U) \subseteq X^{\mathbb{N}}$ est ouverte
+(au sens de la topologie produit de la topologie discrète sur
+$X^{\mathbb{N}}$, qu'on a considérée en cours).
 
 \textbf{(3)} En déduire que si $A$ est ouvert, ou bien fermé, l'un des
 deux joueurs possède une stratégie gagnante au jeu qu'on a décrit.
 
-\textbf{(4)} Montrer ce résultat lorsque $A = \mathbb{Q}$ (autrement
-dit, Alice gagne si la somme $u$ de la série est
+\textbf{(4)} Montrer aussi ce résultat lorsque $A = \mathbb{Q}$
+(autrement dit, Alice gagne si la somme $u$ de la série est
 rationnelle\footnote{Merci d'avance de ne pas prétendre que
 $\mathbb{Q}$ est ouvert, ni qu'il est fermé.}).  Plus généralement,
 montrer ce résultat lorsque $A$ est borélien.
@@ -261,8 +264,8 @@ somme et le produit d'ordinaux écrits en forme normale de Cantor
 
 \textbf{(1)} On rappelle que $1 + \omega = \omega$.  En déduire que si
 un ordinal $\alpha$ vérifie $\alpha \geq \omega$, alors on a $1 +
-\alpha = \alpha$ (\emph{indication :} pourquoi peut-on écrire $\alpha
-= \omega + \beta$ ?).  En déduire que $1 + \omega^\gamma =
+\alpha = \alpha$ (\emph{indication :} justifier qu'on peut écrire
+$\alpha = \omega + \beta$).  En déduire que $1 + \omega^\gamma =
 \omega^\gamma$ lorsque $\gamma > 0$, puis que $\omega^{\gamma_1} +
 \omega^{\gamma_2} = \omega^{\gamma_2}$ lorsque $\gamma_1 < \gamma_2$,
 et enfin que $\omega^{\gamma_1} n_1 + \omega^{\gamma_2} n_2 =
-- 
cgit v1.2.3

