From 028fc841cc62bc796062c6ce2e04fda5aba2d8b1 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sat, 21 Jun 2025 11:05:12 +0200
Subject: Start writing test for 2025.

---
 controle-20250626.tex | 185 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 185 insertions(+)
 create mode 100644 controle-20250626.tex

(limited to 'controle-20250626.tex')

diff --git a/controle-20250626.tex b/controle-20250626.tex
new file mode 100644
index 0000000..d5def48
--- /dev/null
+++ b/controle-20250626.tex
@@ -0,0 +1,185 @@
+%% This is a LaTeX document.  Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
+\documentclass[12pt,a4paper]{article}
+\usepackage[a4paper,margin=2.5cm]{geometry}
+\usepackage[french]{babel}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+%\usepackage{ucs}
+\usepackage{times}
+% A tribute to the worthy AMS:
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsthm}
+%
+\usepackage{mathrsfs}
+\usepackage{wasysym}
+\usepackage{url}
+%
+\usepackage{graphics}
+\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{matrix,calc}
+\usepackage{hyperref}
+%
+%\externaldocument{notes-mitro206}[notes-mitro206.pdf]
+%
+\theoremstyle{definition}
+\newtheorem{comcnt}{Whatever}
+\newcommand\thingy{%
+\refstepcounter{comcnt}\smallskip\noindent\textbf{\thecomcnt.} }
+\newcommand\exercise{%
+\refstepcounter{comcnt}\bigskip\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}\par\nobreak}
+\renewcommand{\qedsymbol}{\smiley}
+%
+\newcommand{\outnb}{\operatorname{outnb}}
+\newcommand{\downstr}{\operatorname{downstr}}
+\newcommand{\precs}{\operatorname{precs}}
+\newcommand{\mex}{\operatorname{mex}}
+\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
+\newcommand{\limp}{\Longrightarrow}
+\newcommand{\gr}{\operatorname{gr}}
+\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
+\newcommand{\dur}{\operatorname{dur}}
+\newcommand{\fuzzy}{\mathrel{\|}}
+%
+\newcommand{\dblunderline}[1]{\underline{\underline{#1}}}
+%
+\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
+%
+\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C}
+\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D}
+%
+\DeclareFontFamily{U}{manual}{} 
+\DeclareFontShape{U}{manual}{m}{n}{ <->  manfnt }{}
+\newcommand{\manfntsymbol}[1]{%
+    {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}}
+\newcommand{\dbend}{\manfntsymbol{127}}% Z-shaped
+\newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2%
+  \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}}
+%
+\newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em}
+\newif\ifcorrige
+\corrigefalse
+\newenvironment{corrige}%
+{\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi%
+\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}}
+{{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}%
+\ifcorrige\par\smallbreak\else\egroup\par\fi}
+%
+%
+%
+\begin{document}
+\ifcorrige
+\title{CSC-4MI06-TP / MITRO206\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Théories des jeux}}
+\else
+\title{CSC-4MI06-TP / MITRO206\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Théories des jeux}}
+\fi
+\author{}
+\date{2025-06-26}
+\maketitle
+
+\pretolerance=8000
+\tolerance=50000
+
+\vskip1truein\relax
+
+\noindent\textbf{Consignes.}
+
+Les exercices sont totalement indépendants.  Ils pourront être traités
+dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître de façon
+très visible dans les copies où commence chaque exercice.
+
+\medbreak
+
+L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou
+imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé.
+
+L'usage des appareils électroniques est interdit.
+
+\medbreak
+
+Durée : 2h
+
+\ifcorrige
+Ce corrigé comporte \textcolor{red}{XXX} pages (page de garde incluse).
+\else
+Cet énoncé comporte \textcolor{red}{XXX} pages (page de garde incluse).
+\fi
+
+\vfill
+{\noindent\tiny
+\immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex}
+Git: \input{vcline.tex}
+\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex}
+\par}
+
+\pagebreak
+
+
+%
+%
+%
+
+\exercise
+
+\textbf{(1)} On considère le jeu en forme normale symétrique à somme
+nulle défini par la matrice de gain suivante :
+\begin{center}
+\begin{tabular}{r|ccc}
+$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&Pierre&Papier&Ciseaux\\\hline
+Pierre&$\hphantom{+}0$&$-1$&$+1$\\
+Papier&$+1$&$\hphantom{+}0$&$-1$\\
+Ciseaux&$-1$&$+1$&$\hphantom{+}0$\\
+\end{tabular}
+\end{center}
+(Seul le gain d'Alice a été inscrit dans chaque case car les gains des
+deux joueurs sont opposés.)
+
+Rappeler brièvement quels sont tous les équilibres de Nash de ce jeu.
+
+\smallskip
+
+\textbf{(2)} On souhaite maintenant ajouter une nouvelle option au jeu
+ci-dessus, c'est-à-dire qu'on considère le jeu en forme normale
+(toujours symétrique et à somme nulle) défini par la matrice de
+gains :
+\begin{center}
+\begin{tabular}{r|cccc}
+$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&Pierre&Papier&Ciseaux&Foobar\\\hline
+Pierre&$0$&$-1$&$+1$&$-x$\\
+Papier&$+1$&$0$&$-1$&$-y$\\
+Ciseaux&$-1$&$+1$&$0$&$-z$\\
+Foobar&$x$&$y$&$z$&$0$\\
+\end{tabular}
+\end{center}
+(Les trois sous-questions qui suivent sont indépendantes.)
+
+\textbf{\hphantom{(2)} (a)} À quelle condition (nécessaire et
+suffisante) sur $x,y,z$ les équilibres de Nash trouvés en (1) sont-ils
+encore des équilibres de Nash pour ce nouveau jeu ?\quad\textbf{(b)} À
+quelle condition (nécessaire et suffisante) sur $x,y,z$ y a-t-il un
+équilibre de Nash où les deux joueurs jouent l'option Foobar (de façon
+certaine) ?\quad\textbf{(c)} À quelle condition (nécessaire et
+suffisante) sur $x,y,z$ y a-t-il un équilibre de Nash où les deux
+joueurs jouent Pierre ou Foobar chacun avec
+probabilité $\frac{1}{2}$ ?
+
+\smallskip
+
+\textbf{(3)} On reprend maintenant la matrice de gains écrite en (1),
+mais cette fois les gains des deux joueurs seront \emph{égaux} au lieu
+d'être opposés (ce n'est donc plus un jeu à somme nulle !), le tableau
+donnant la valeur du gain commun aux deux joueurs.
+
+\textbf{\hphantom{(3)} (a)} Montrer que les équilibres de Nash trouvés
+en (1) sont encore des équilibres de Nash de ce nouveau
+jeu.\quad\textbf{(b)} Donner au moins un équilibre de Nash différent
+de ceux-ci.
+
+
+
+%
+%
+%
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.3

