From 413d62fabd16988d2168f57e59db0b50fbfd3c9f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sun, 22 Jun 2025 12:40:19 +0200
Subject: Write answer to first exercise.

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 controle-20250626.tex | 124 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++----
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+++ b/controle-20250626.tex
@@ -62,7 +62,7 @@
 %
 \newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em}
 \newif\ifcorrige
-\corrigefalse
+\corrigetrue
 \newenvironment{corrige}%
 {\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi%
 \smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}}
@@ -130,15 +130,42 @@ nulle défini par la matrice de gains suivante :
 \begin{center}
 \begin{tabular}{r|ccc}
 $\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&Pierre&Papier&Ciseaux\\\hline
-Pierre&$\hphantom{+}0$&$-1$&$+1$\\
-Papier&$+1$&$\hphantom{+}0$&$-1$\\
-Ciseaux&$-1$&$+1$&$\hphantom{+}0$\\
+Pierre&$0$&$-1$&$+1$\\
+Papier&$+1$&$0$&$-1$\\
+Ciseaux&$-1$&$+1$&$0$\\
 \end{tabular}
 \end{center}
 (Seul le gain d'Alice a été inscrit dans chaque case car les gains des
 deux joueurs sont opposés.)
 
-Rappeler brièvement quels sont tous les équilibres de Nash de ce jeu.
+Quels sont tous les équilibres de Nash de ce jeu ?
+
+\begin{corrige}
+On a vu en cours qu'une stratégie optimale pour l'un ou l'autre joueur
+est $\frac{1}{3}\text{Pierre} + \frac{1}{3}\text{Papier} +
+\frac{1}{3}\text{Ciseaux}$ : de fait, la valeur du jeu est nulle car
+il est à somme nulle et \emph{symétrique}, et cette stratégie mixte
+$\frac{1}{3}\text{Pierre} + \frac{1}{3}\text{Papier} +
+\frac{1}{3}\text{Ciseaux}$ réalise au moins la valeur du jeu contre
+n'importe quelle option de l'adversaire.
+
+Réciproquement, si $p\,\text{Pierre} + q\,\text{Papier} +
+r\,\text{Ciseaux}$ est une stratégie optimale d'un joueur (avec
+$p,q,r$ positifs de somme $1$), son gain contre les trois stratégies
+pures de l'adversaire (à savoir $q-r$ contre Pierre, $r-p$ contre
+Papier et $p-q$ contre Ciseaux) doit être positif à chaque fois.  On a
+donc $q \geq r$ et $r \geq p$ et $p \geq q$, ce qui impose $p=q=r$
+donc ils valent $\frac{1}{3}$.  Ceci montre que
+$\frac{1}{3}\text{Pierre} + \frac{1}{3}\text{Papier} +
+\frac{1}{3}\text{Ciseaux}$ est la seule stratégie optimale à ce jeu
+(quel que soit le joueur).
+
+Enfin, les équilibres de Nash d'un jeu à somme nuls sont ceux où les
+deux joueurs jouent une stratégie optimale, donc il n'y a qu'un seul
+ici, c'est celui où Alice et Bob jouent chacun
+$\frac{1}{3}\text{Pierre} + \frac{1}{3}\text{Papier} +
+\frac{1}{3}\text{Ciseaux}$.
+\end{corrige}
 
 \smallskip
 
@@ -164,20 +191,97 @@ quelle condition (nécessaire et suffisante) sur $x,y,z$ y a-t-il un
 équilibre de Nash où les deux joueurs jouent l'option Foobar (de façon
 certaine) ?\quad\textbf{(c)} À quelle condition (nécessaire et
 suffisante) sur $x,y,z$ y a-t-il un équilibre de Nash où les deux
-joueurs jouent Pierre ou Foobar chacun avec
-probabilité $\frac{1}{2}$ ?
+joueurs jouent $\frac{1}{2}\text{Pierre} + \frac{1}{2}\text{Foobar}$
+(i.e., Pierre ou Foobar chacun avec probabilité $\frac{1}{2}$) ?
+
+\begin{corrige}
+\textbf{(a)} En ajoutant une ligne et une colonne pour la stratégie
+mixte $M := \frac{1}{3}\text{Pierre} + \frac{1}{3}\text{Papier} +
+\frac{1}{3}\text{Ciseaux}$, le tableau devient :
+\begin{center}
+\begin{tabular}{r|cccc|c}
+$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&Pierre&Papier&Ciseaux&Foobar&$M$\\\hline
+Pierre&$0$&$-1$&$+1$&$-x$&$0$\\
+Papier&$+1$&$0$&$-1$&$-y$&$0$\\
+Ciseaux&$-1$&$+1$&$0$&$-z$&$0$\\
+Foobar&$x$&$y$&$z$&$0$&$\frac{1}{3}(x+y+z)$\\\hline
+$M$&$0$&$0$&$0$&$-\frac{1}{3}(x+y+z)$&$0$\\
+\end{tabular}
+\end{center}
+Le profil $(M,M)$ est un équilibre de Nash lorsque $0$ est le plus
+grand nombre de sa colonne et le plus petit de sa ligne, c'est-à-dire
+exactement lorsque $x+y+z \leq 0$.
+
+\textbf{(b)} Le profile $(\text{Foobar}, \text{Foobar})$ est un
+équilibre de Nash lorsque $0$ est le plus grand nombre de sa colonne
+et le plus petit de sa ligne, c'est-à-dire lorsque $x,y,z$ sont tous
+positifs.
+
+\textbf{(c)} En ajoutant une ligne et une colonne pour la stratégie
+mixte $N := \frac{1}{2}\text{Pierre} +
+\frac{1}{2}\text{Foobar}$, le tableau devient :
+\begin{center}
+\begin{tabular}{r|cccc|c}
+$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&Pierre&Papier&Ciseaux&Foobar&$N$\\\hline
+Pierre&$0$&$-1$&$+1$&$-x$&$-\frac{x}{2}$\\[0.7ex]
+Papier&$+1$&$0$&$-1$&$-y$&$-\frac{y-1}{2}$\\[0.7ex]
+Ciseaux&$-1$&$+1$&$0$&$-z$&$-\frac{z+1}{2}$\\[0.7ex]
+Foobar&$x$&$y$&$z$&$0$&$\frac{x}{2}$\\[0.7ex]\hline
+$N$&$\frac{x}{2}$&$\frac{y-1}{2}$&$\frac{z+1}{2}$&$-\frac{x}{2}$&$0$\\
+\end{tabular}
+\end{center}
+Le profil $(N,N)$ est un équilibre de Nash lorsque $0$ est le plus
+grand nombre de sa colonne et le plus petit de sa ligne, c'est-à-dire
+exactement lorsque $x=0$ et $y\geq 1$ et $z\geq -1$.
+\end{corrige}
 
 \smallskip
 
 \textbf{(3)} On reprend maintenant la matrice de gains écrite en (1),
 mais cette fois les gains des deux joueurs seront \emph{égaux} au lieu
-d'être opposés (ce n'est donc plus un jeu à somme nulle !), le tableau
-donnant la valeur du gain commun aux deux joueurs.
+d'être opposés (ce n'est donc plus un jeu à somme nulle ! les joueurs
+sont alliés et non plus adversaires).  Le tableau donne la valeur du
+gain commun aux deux joueurs.
 
 \textbf{\hphantom{(3)} (a)} Montrer que les équilibres de Nash trouvés
 en (1) sont encore des équilibres de Nash de ce nouveau
 jeu.\quad\textbf{(b)} Donner au moins un équilibre de Nash différent
-de ceux-ci.
+de ceux-ci.  Commenter brièvement quant à la différence de gain
+éventuelle entre ces équilibres de Nash.
+
+\begin{corrige}
+\textbf{(a)} En ajoutant une ligne et une colonne pour la stratégie
+mixte $M := \frac{1}{3}\text{Pierre} + \frac{1}{3}\text{Papier} +
+\frac{1}{3}\text{Ciseaux}$, le tableau devient :
+\begin{center}
+\begin{tabular}{r|ccc|c}
+$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&Pierre&Papier&Ciseaux&$M$\\\hline
+Pierre&$0$&$-1$&$+1$&$0$\\
+Papier&$+1$&$0$&$-1$&$0$\\
+Ciseaux&$-1$&$+1$&$0$&$0$\\\hline
+$M$&$0$&$0$&$0$&$0$\\
+\end{tabular}
+\end{center}
+Le profil $(M,M)$ est bien un équilibre de Nash car $0$ est le plus
+grand nombre de sa colonne et le plus grand de sa ligne, ce qui est
+bien le cas ici.
+
+\textbf{(b)} Il y a des équilibres de Nash évidents en stratégies
+pures, à savoir tous les $+1$ du tableau : par exemple, si Alice joue
+Papier et Bob joue Pierre, ceci constitue bien un équilibre de Nash
+(car $+1$ est le plus grand nombre de sa colonne et le plus grand de
+sa ligne).
+
+L'équilibre de Nash trouvé en (a) correspond intuitivement à une
+situation où les joueurs ne sont pas synchronisés : ils jouent une
+stratégie équilibrée entre les trois options.  Dans ce jeu coopératif,
+ce n'est pas du tout optimal, le gain espéré étant $0$, mais aucun n'a
+d'intérêt à privilégier unilatéralement une des options tant que
+l'autre continue à jouer cette stratégie.  Dans le cas trouvé en (b),
+en revanche, les joueurs se sont synchronisés sur une stratégie qui
+les arrange tous les deux, réalisant le gain qui est visiblement le
+meilleur possible ici.
+\end{corrige}
 
 
 %
-- 
cgit v1.2.3

