From e8253ae9ded55681262e214ace8ad67012d6c535 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sun, 22 Jun 2025 12:02:29 +0200
Subject: Yet another exercise.

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 controle-20250626.tex | 41 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++---
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index 6e01fbe..d03816c 100644
--- a/controle-20250626.tex
+++ b/controle-20250626.tex
@@ -200,9 +200,9 @@ vides.
 
 Un coup d'un joueur consiste à retirer \emph{exactement un} jeton
 d'une certaine pile $i$, de son choix, et d'ajouter \emph{autant qu'il
-le souhaite} (y compris $0$) jetons à chacune des piles $j<i$.  Par
-exemple, à partir de la position $(0,3,2)$ on peut notamment jouer
-vers $(42,1000,1)$ ou bien vers $(0,2,2)$.
+le souhaite} (y compris $0$) jetons à chacune des piles $j<i$, y
+compris plusieurs.  Par exemple, à partir de la position $(0,3,2)$ on
+peut notamment jouer vers $(42,1000,1)$ ou bien vers $(0,2,2)$.
 
 Comme d'habitude, le joueur qui ne peut pas jouer a perdu,
 c'est-à-dire que celui qui prend le dernier jeton a gagné.
@@ -246,6 +246,41 @@ d'une position $(n_0,n_1,\ldots,n_{k-1})$ quelconque.
 \textbf{(10)} Démontrer cette formule.
 
 
+%
+%
+%
+
+\exercise
+
+Dans cet exercice, on fixe un ordinal $\varepsilon$ tel que
+$\varepsilon = \omega^\varepsilon$.
+
+\textbf{(1)} Montrer que $\varepsilon^\varepsilon =
+\omega^{\varepsilon^2}$ et que $\varepsilon \cdot
+\varepsilon^\varepsilon$ vaut la même chose.
+
+\textbf{(2)} On suppose que $S$ et $T$ sont deux ensembles d'ordinaux
+tels que $\forall \alpha\in S,\; \exists \beta\in
+T,\;(\alpha\leq\beta)$ et que $\forall \beta\in T,\; \exists \alpha\in
+S,\;(\beta\leq\alpha)$.  Montrer que $\sup S = \sup T$.
+
+\textbf{(3)} On appelle $(\alpha_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite
+d'ordinaux définie par récurrence par $\alpha_0 = 1$ et $\alpha_{n+1}
+= \varepsilon^{\alpha_n}$, et $(\beta_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite
+d'ordinaux définie par récurrence par $\beta_0 = \varepsilon+1$ et
+$\beta_{n+1} = \omega^{\beta_n}$.  Autrement dit : $1, \varepsilon,
+\varepsilon^{\varepsilon}, \varepsilon^{\varepsilon^\varepsilon},
+\varepsilon^{\varepsilon^{\varepsilon^\varepsilon}}, \ldots$ d'une
+part, et $\varepsilon+1, \omega^{\varepsilon+1},
+\omega^{\omega^{\varepsilon+1}},
+\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon+1}}}, \ldots$ de l'autre.  Montrer
+que ces suites ont la même limite.
+
+\textbf{(4)} Montrer que la limite commune trouvée en (3) vérifie
+$\eta = \omega^\eta$, et qu'elle est le plus petit ordinal
+$\eta>\epsilon$ tel que $\eta = \omega^\eta$.
+
+
 %
 %
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cgit v1.2.3