From 4098f486b5ee80fe145eecd15f0e97887424bf09 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Tue, 16 Jun 2026 17:47:17 +0200
Subject: Start writing test for 2026.

---
 controle-20260622.tex | 322 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 322 insertions(+)
 create mode 100644 controle-20260622.tex

(limited to 'controle-20260622.tex')

diff --git a/controle-20260622.tex b/controle-20260622.tex
new file mode 100644
index 0000000..cbd6973
--- /dev/null
+++ b/controle-20260622.tex
@@ -0,0 +1,322 @@
+%% This is a LaTeX document.  Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
+\documentclass[12pt,a4paper]{article}
+\usepackage[a4paper,margin=2.5cm]{geometry}
+\usepackage[french]{babel}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+%\usepackage{ucs}
+\usepackage{times}
+% A tribute to the worthy AMS:
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsthm}
+%
+\usepackage{mathrsfs}
+\usepackage{wasysym}
+\usepackage{url}
+%
+\usepackage{graphics}
+\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{matrix,calc}
+\usepackage{hyperref}
+%
+%\externaldocument{notes-mitro206}[notes-mitro206.pdf]
+%
+\theoremstyle{definition}
+\newtheorem{comcnt}{Whatever}
+\newcommand\thingy{%
+\refstepcounter{comcnt}\smallskip\noindent\textbf{\thecomcnt.} }
+\newcommand\exercise{%
+\refstepcounter{comcnt}\bigskip\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}\par\nobreak}
+\renewcommand{\qedsymbol}{\smiley}
+%
+\newcommand{\outnb}{\operatorname{outnb}}
+\newcommand{\downstr}{\operatorname{downstr}}
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+%
+\newcommand{\dblunderline}[1]{\underline{\underline{#1}}}
+%
+\renewcommand{\thefootnote}{\fnsymbol{footnote}}
+%
+\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
+%
+\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C}
+\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D}
+%
+\DeclareFontFamily{U}{manual}{} 
+\DeclareFontShape{U}{manual}{m}{n}{ <->  manfnt }{}
+\newcommand{\manfntsymbol}[1]{%
+    {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}}
+\newcommand{\dbend}{\manfntsymbol{127}}% Z-shaped
+\newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2%
+  \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}}
+%
+\newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em}
+\newif\ifcorrige
+\corrigetrue
+\newenvironment{corrige}%
+{\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi%
+\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}}
+{{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}%
+\ifcorrige\par\smallbreak\else\egroup\par\fi}
+%
+%
+%
+\begin{document}
+\ifcorrige
+\title{CSC-4MI06-TP / MITRO206\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Théories des jeux}}
+\else
+\title{CSC-4MI06-TP / MITRO206\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Théories des jeux}}
+\fi
+\author{}
+\date{2026-06-22}
+\maketitle
+
+\pretolerance=8000
+\tolerance=50000
+
+\vskip1truein\relax
+
+\noindent\textbf{Consignes.}
+
+Les exercices sont totalement indépendants.  Ils pourront être traités
+dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître de façon
+très visible dans les copies où commence chaque exercice.
+
+Une traduction anglaise indicative suit l'énoncé en français.
+
+\medbreak
+
+L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou
+imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé.
+
+L'usage des appareils électroniques est interdit.
+
+\medbreak
+
+Durée : 2h
+
+\ifcorrige
+Ce corrigé comporte \textcolor{red}{XXX} pages (page de garde incluse).
+\else
+Cet énoncé comporte \textcolor{red}{XXX} pages (page de garde incluse).
+\fi
+
+\vfill
+{\noindent\tiny
+\immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex}
+Git: \input{vcline.tex}
+\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex}
+\par}
+
+\pagebreak
+
+
+%
+%
+%
+
+\exercise
+
+L'expérience de pensée suivante a circulé sur divers réseaux sociaux
+en avril–mai 2026 :
+
+\begin{narrower}
+« Devant chaque personne sur Terre apparaissent deux boutons, un bleu
+  et un rouge.  Chacun doit appuyer en secret sur l'un des deux.  Si
+  au moins 50\% appuient sur le bouton bleu, tout le monde survit.
+  Sinon, seuls ceux qui ont appuyé sur le bouton rouge survivent.  Que
+  feriez-vous ? »\par
+\end{narrower}
+
+Nous allons étudier ce problème sous l'angle de la pure théorie des
+jeux\footnote{En supposant, entre autres hypothèses simplificatrices
+critiquables, que chacun n'est préoccupé que par sa propre survie.}.
+On considère donc le jeu en forme normale suivant : $n\geq 2$ joueurs
+doivent fait un choix simultané entre deux options, $B$ (bleu) et
+$R$ (rouge) ; par ailleurs, on a fixé à l'avance\footnote{On suppose
+tacitement que ce seuil, comme l'ensemble des règles du jeu, sont
+connus de tous les joueurs.  Dans l'expérience de pensée du texte cité
+ci-dessus ce serait $s = \lceil n/2\rceil$, le plus petit entier $\geq
+n/2$, mais ceci n'aura pas d'impact sur le raisonnement donc on ne
+supposera rien.} un nombre $2 \leq s \leq n$.  Le gain des joueurs est
+déterminé par les règles suivantes :
+\begin{itemize}
+\item si $\geq s$ joueurs ont choisi l'option $B$, alors le gain de
+  chaque joueur est $0$ ;
+\item sinon (c'est-à-dire : si $> n-s$ joueurs ont choisi
+  l'option $R$), alors le gain des joueurs ayant choisi $R$ est $0$ et
+  celui des joueurs ayant choisi l'option $B$ est $-1$.
+\end{itemize}
+
+Le but de l'exercice est de déterminer les équilibres de Nash de ce
+jeu.
+
+On rappelle qu'on dit que $R$ est dans le \textbf{support} d'une
+stratégie (mixte) $(1-p) B + p R$ lorsque $p>0$, et que $B$ est dans
+le support de $(1-p) B + p R$ lorsque $p<1$.
+
+\medskip
+
+\textbf{(1)} Considérons un joueur $i$ particulier.\quad
+\textbf{(a)} Montrer que si $> n-s$ des $n-1$ autres joueurs jouent
+une stratégie ayant $R$ dans son support, alors le joueur $i$
+considéré a une espérance de gain strictement plus grande en
+jouant $R$ qu'en jouant $B$.  (On demande une démonstration
+mathématiquement précise ici.)\quad\textbf{(b)} Montrer qu'au
+contraire si $\leq n-s$ des autres joueurs jouent une stratégie ayant
+$R$ dans son support, alors le joueur $i$ a une espérance de gain
+égale à $0$ quel que soit son choix.
+
+\begin{corrige}
+\textbf{(a)} Appelons $\mathscr{R}$ l'ensemble des joueurs $j \neq i$
+qui jouent une stratégie $(1-p_j) B + p_j R$ ayant $R$ dans son
+support (les autres jouent donc la stratégie pure $B$).  Le gain du
+joueur $i$ est $0$ s'il joue $R$ ; s'il joue $B$, son gain est
+l'opposé de la probabilité (appelons-la $q$) que $> n-s$ joueurs
+jouent $R$.  Si le cardinal $\#\mathscr{R}$ de $\mathscr{R}$ vaut $>
+n-s$, alors cette probabilité $q$ vaut $\geq\prod_{j\in\mathscr{R}}
+p_j > 0$ (puisque au moins dans le cas où chaque joueur
+$j\in\mathscr{R}$ joue effectivement $R$, l'événement « $>
+n-s$ joueurs jouent $R$ » se sera produit) ; et alors l'espérance du
+gain du joueur $i$ considéré est strictement plus grande (à
+savoir $0$) en jouant $R$ que s'il joue $B$ (à savoir $-q$).  C'est ce
+qui était demandé.
+
+\textbf{(b)} Si le joueur $i$ considéré joue $R$, son gain vaut de
+toute façon $0$ donc il n'y a rien à prouver.  Mais s'il joue $B$,
+comme on a supposé que $\leq n-s$ des autres joueurs jouent $R$, on
+est dans le cas où $\geq s$ joueurs jouent $B$, et le gain de tous les
+joueurs vaut $0$, donc l'affirmation de l'énoncé est vraie aussi.
+\end{corrige}
+
+\medskip
+
+\textbf{(2)} En déduire que, dans un équilibre de Nash, si $B$ est
+dans le support de la stratégie d'un certain joueur $i$, alors $\leq
+n-s$ des autres joueurs jouent une stratégie ayant $R$ dans le
+support.
+
+\begin{corrige}
+Si $B$ est dans le support de la stratégie du joueur $i$, alors c'est
+une meilleure réponse possible au profil de stratégie des autres
+joueurs, et d'après (1)(a), ceci implique que $\leq n-s$ des autres
+joueurs jouent une stratégie ayant $R$ dans son support.
+\end{corrige}
+
+\medskip
+
+\textbf{(3)} Considérons un équilibre de Nash et appelons
+respectivement : $n_B$ le nombre de joueurs qui jouent la stratégie
+pure $B$ ; $n_R$ ceux qui jouent la stratégie pure $R$, et $n_M$ ceux
+qui jouent une stratégie mixte $(1-p) B + p R$ ayant à la fois
+$B$ et $R$ dans le support (i.e., telle que $0<p<1$).  En appliquant
+la question (2) à un joueur bien choisi, montrer que :
+\begin{itemize}
+\item[\textbf{(a)}] si $n_B > 0$, alors $n_M + n_R \leq n-s$
+  (c'est-à-dire $n_B \geq s$) ;
+\end{itemize}
+et, d'autre part, que :
+\begin{itemize}
+\item[\textbf{(b)}] si $n_M > 0$, alors $n_M + n_R \leq n-s+1$
+  (c'est-à-dire $n_B \geq s-1$).
+\end{itemize}
+
+\begin{corrige}
+Observons avant tout que $n_B + n_M + n_R = n$ de façon évidente.
+
+Pour montrer (a) : si $n_B > 0$, on peut appliquer la question (2) à
+un joueur $i$ qui joue la stratégie pure $B$ ; elle nous permet de
+dire que $\leq n-s$ des autres joueurs jouent une stratégie ayant $R$
+dans le support, et comme $i$ lui-même joue purement $B$, on voit que
+$\leq n-s$ parmi tous les joueurs jouent une stratégie ayant $R$ dans
+le support, c'est-à-dire $n_M + n_R \leq n-s$, c'est-à-dire $n_B \geq
+s$.
+
+Pour montrer (b) : si $n_M > 0$, on peut appliquer la question (2) à
+un joueur $i$ qui joue une stratégie ayant à la fois $B$ et $R$ dans
+le support ; elle nous permet de dire que $\leq n-s$ des autres
+joueurs jouent une stratégie ayant $R$ dans le support, et comme $i$
+lui-même compte aussi, on voit que $\leq n-s+1$ parmi tous les joueurs
+jouent une stratégie ayant $R$ dans le support, c'est-à-dire $n_M +
+n_R \leq n-s+1$, c'est-à-dire $n_B \geq s-1$.
+\end{corrige}
+
+\medskip
+
+\textbf{(4)} Conclure qu'il y a deux sortes d'équilibres de Nash :
+\begin{itemize}
+\item ceux où $\geq s$ joueurs jouent la stratégie pure $B$,
+\item celui où \emph{tous} les joueurs jouent la stratégie pure $R$.
+\end{itemize}
+On vérifiera que ce sont bien des équilibres de Nash.
+
+\begin{corrige}
+Si on garde la notation $(n_B,n_M,n_R)$ de la question (3) pour un
+équilibre de Nash, on a soit $n_R < n$ soit $n_R = n$.  Le second cas
+correspond bien à la situation où tous les joueurs jouent la stratégie
+pure $R$.  Dans le second cas, $n_B + n_M > 0$ donc soit $n_B > 0$
+soit $n_M > 0$.  Si $n_B > 0$, alors (3)(a) donne $n_B \geq s$,
+c'est-à-dire qu'on est dans la situation où $\geq s$ joueurs jouent la
+stratégie pure $B$ ; mais si $n_M > 0$, alors (3)(b) donne $n_B \geq
+s-1 > 0$ car $s \geq 2$, et on est ramené au cas qu'on vient de
+traiter.  Ceci achève de démontrer que tout équilibre de Nash est
+d'une des deux sortes qu'on a dites.
+
+Montrons enfin que ce sont effectivement des équilibres de Nash : pour
+ce qui est de la première sorte, il y a $\leq n-s$ joueurs jouant une
+stratégie ayant $R$ dans son support, donc c'est exactement ce
+qu'affirme la question (1)(b).  Et pour la seconde sorte, c'est
+évident (l'option $R$ est une meilleure réponse à n'importe quel
+profil de stratégies des autres joueurs).
+\end{corrige}
+
+\medskip
+
+\textbf{(5)} Pour $n=3$ et $s=2$, faire un dessin dans l'espace
+$(p_1,p_2,p_3)$ (où $(1-p_i) B + p_i R$ est la stratégie du
+joueur $i$) où on montrera le domaine des profils de stratégies mixtes
+possibles, et la partie correspondant aux équilibres de Nash.
+
+\begin{corrige}
+On dessine un cube de côté $1$ : l'ensemble du cube $[0,1]^3$
+correspond aux profils de stratégies mixtes $(p_1,p_2,p_3)$
+possibles ; la partie correspondant aux équilibres de Nash est le
+sommet $(1,1,1)$ (tous les joueurs jouent purement $R$) ainsi que la
+réunion des trois arêtes passant par $(0,0,0)$ (correspond aux
+situations où deux joueurs jouent purement $B$ et le troisième suit
+une stratégie quelconque).
+\end{corrige}
+
+\medskip
+
+\textbf{(6)} La conclusion de la question (4) est fausse pour $s=1$ :
+expliquer pourquoi, et indiquer à quel endroit dans le raisonnement on
+a utilisé l'hypothèse $s\geq 2$.
+
+\begin{corrige}
+Pour $s=1$, le jeu est trivial : le gain de chaque joueur est
+toujours $0$ (en effet, si tous les joueurs jouent $R$, leur gain
+est $0$ de toute façon, et si un joueur joue $B$ alors le gain de tous
+les joueurs est $0$ par la première clause des règles).  Il s'ensuit
+que n'importe quel profil de stratégies mixtes est un équilibre de
+Nash, et ils ne sont pas tous d'une des deux sortes qu'on a dites
+en (4).  L'hypothèse $s\geq 2$ a été utilisée en (4), juste après
+l'utilisation de la question (3)(b), pour passer de $n_B \geq s-1$ à
+$n_B > 0$.
+\end{corrige}
+
+
+
+%
+%
+%
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.3

