From dd831ec57be4d27092333a1686be7c44a9642292 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Tue, 5 Apr 2016 15:11:10 +0200
Subject: More exercises on ordinals.

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 exercices-ordinaux.tex | 143 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
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index a7f909a..f3cbc74 100644
--- a/exercices-ordinaux.tex
+++ b/exercices-ordinaux.tex
@@ -262,6 +262,73 @@ avec $n$ termes $\omega+1$ (où $n$ est un entier naturel $\geq 1$) ?
 
 
 
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+(a) Que vaut $(\omega 2) \times (\omega 2)$ ?
+
+(b) Plus généralement, que vaut $(\omega 2) \cdots (\omega 2)$ avec
+$n$ facteurs $\omega 2$ (où $n$ est un entier naturel $\geq 1$) ?
+
+(c) En déduire ce que vaut $(\omega 2)^n$.
+
+(d) En déduire ce que vaut $(\omega 2)^\omega$.  Comparer avec
+$\omega^\omega \cdot 2^\omega$.
+
+(e) En déduire ce que vaut $(\omega 2)^{\omega+n}$ pour $n\geq 1$
+entier naturel.
+
+(f) En déduire ce que vaut $(\omega 2)^{\omega 2}$.
+
+\begin{corrige}
+(a) On a $(\omega 2) \cdot (\omega 2) = \omega \cdot 2 \cdot \omega
+  \cdot 2 = \omega \cdot (2 \cdot \omega) \cdot 2 = \omega \cdot
+  \omega \cdot 2 = \omega^2 \cdot 2$.
+
+(b) En procédant de même, on voit que dans le produit de $n$ facteurs
+  $\omega 2$, chaque $2$ est absorbé par le $\omega$ qui \emph{suit},
+  sauf le dernier $2$ qui demeure : le produit vaut donc $\omega^n
+  \cdot 2$.
+
+(c) Quel que soit l'ordinal $\alpha$, le produit $\alpha \cdots
+  \alpha$ avec $n$ facteurs $\alpha$ vaut $\alpha^n$ (ceci se voit
+  soit par une récurrence immédiate sur $n$ avec la définition par
+  induction de l'exponentiation, soit en écrivant $\alpha^n =
+  \alpha^{1+\cdots+1} = \alpha \cdots \alpha$).  On a donc $(\omega
+  2)^n = \omega^n \cdot 2$.
+
+(d) L'ordinal $(\omega 2)^\omega$ est la limite des $\omega^n \cdot 2$
+  pour $n\to\omega$.  Cette limite vaut $\omega^\omega$ : en effet,
+  $\omega^\omega \geq \omega^n \cdot 2$ pour chaque $n<\omega$, mais
+  inversement, si $\gamma < \omega^\omega$, on a $\gamma < \omega^n$
+  pour un certain $n$ (par exemple en utilisant le fait que
+  $\omega^\omega$ est lui-même la limite des $\omega^n$, c'est-à-dire
+  le plus petit ordinal supérieur ou égal à eux), et en particulier
+  $\gamma < \omega^n \cdot 2$ ; ou, si on préfère, $\omega^n \leq
+  \omega^n \cdot 2 \leq \omega^{n+1}$ où $\omega^n$ et $\omega^{n+1}$
+  ont la même limite $\omega^\omega$, d'où il résulte que $\omega^n
+  \cdot 2$ aussi.
+
+  Bref, $(\omega 2)^\omega = \omega^\omega$.  En revanche,
+  $\omega^\omega \cdot 2^\omega = \omega^\omega \cdot \omega =
+  \omega^{\omega+1}$ est strictement plus grand.
+
+(e) On a $(\omega 2)^{\omega + n} = (\omega 2)^\omega \cdot (\omega
+  2)^n = \omega^\omega \cdot \omega^n \cdot 2$ d'après les questions
+  précédentes, donc ceci vaut $\omega^{\omega+n} \cdot 2$.
+
+(f) L'ordinal $(\omega 2)^{\omega 2}$ est la limite des
+  $\omega^{\omega+n} \cdot 2$ pour $n\to\omega$, et le même
+  raisonnement qu'en (d) montre que cette limite est
+  $\omega^{\omega+\omega} = \omega^{\omega 2}$.  Bref, $(\omega
+  2)^{\omega 2} = \omega^{\omega 2}$.
+\end{corrige}
+
+
+
 %
 %
 %
@@ -285,6 +352,82 @@ a $1 + \alpha > \alpha$.
 \end{corrige}
 
 
+
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+On rappelle que si $\alpha' \geq \alpha$ sont deux ordinaux, il existe
+un unique $\beta$ tel que $\alpha' = \alpha + \beta$.  (a) En déduire
+que si $\gamma < \gamma'$ alors $\omega^\gamma + \omega^{\gamma'} =
+\omega^{\gamma'}$ (on pourra utiliser la conclusion de l'exercice
+précédent).  (b) Expliquer pourquoi $\omega^{\gamma'} +
+\omega^\gamma$, lui, est strictement plus grand que $\omega^{\gamma'}$
+et $\omega^\gamma$.
+
+\begin{corrige}
+(a) Si $\gamma < \gamma'$, il existe $\beta$ tel que $\gamma' = \gamma
+  + \beta$, si bien qu'on a $\omega^\gamma + \omega^{\gamma'} =
+  \omega^\gamma + \omega^{\gamma + \beta} = \omega^\gamma +
+  \omega^\gamma \cdot \omega^\beta = \omega^\gamma (1 +
+  \omega^\beta)$.  La conclusion voulue découle donc du fait que $1 +
+  \omega^\beta = \omega^\beta$ : or ceci résulte de l'exercice
+  précédent (on a $\beta \neq 0$ puisque $\gamma' \neq \gamma$, donc
+  $\beta \geq 1$, donc $\omega^\beta \geq \omega$).
+
+(b) On a $\omega^\gamma > 0$ donc $\omega^{\gamma'} + \omega^\gamma >
+  \omega^{\gamma'}$ (par stricte croissance de la somme en la variable
+  de droite), et comme $\omega^{\gamma'} > \omega^\gamma$, la somme
+  est également $> \omega^\gamma$.  (On pouvait aussi invoquer la
+  comparaison des formes normales de Cantor.)
+\end{corrige}
+
+
+
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+(A) (1) Que vaut $2^{\omega+1}$ ?\spaceout (2) Que vaut
+$2^{\omega^2}$ ?\spaceout (3) Expliquer pourquoi $\omega^\omega =
+\omega\cdot \omega^\omega$.  En déduire ce que vaut
+$2^{\omega^\omega}$.  (À chaque fois, on écrira les ordinaux demandés
+en forme normale de Cantor.)
+
+(B) On suppose que $\varepsilon = \omega^\varepsilon$.  (1) Que vaut
+$\varepsilon^\varepsilon$ ?\spaceout (2) Que vaut
+$\varepsilon^{\varepsilon^\varepsilon}$ (on pourra utiliser un des
+deux exercices précédents) ?
+
+\begin{corrige}
+(A) (1) On a $2^{\omega+1} = 2^\omega\cdot 2^1 = \omega\cdot
+  2$.\spaceout (2) On a $2^{\omega^2} = 2^{\omega\cdot\omega} =
+  (2^\omega)^\omega = \omega^\omega$.\spaceout (3) On a $\omega\cdot
+  \omega^\omega = \omega^1 \cdot \omega^\omega = \omega^{1+\omega} =
+  \omega^\omega$.  On en déduit que $2^{\omega^\omega} =
+  2^{\omega\cdot \omega^\omega} = (2^\omega)^{\omega^\omega} =
+  \omega^{\omega^\omega}$.
+
+(B) (1) On a $\varepsilon^\varepsilon =
+  (\omega^\varepsilon)^\varepsilon = \omega^{\varepsilon^2}$ ou, si on
+  préfère, $\omega^{\omega^{\varepsilon\cdot 2}}$.\spaceout  (2) On a
+  $\varepsilon^{\varepsilon^\varepsilon} =
+  (\omega^\varepsilon)^{\varepsilon^\varepsilon} = \omega^{\varepsilon
+    \cdot \varepsilon^\varepsilon} = \omega^{\varepsilon^{1 +
+      \varepsilon}}$.  Or $1 + \varepsilon = \varepsilon$ d'après un
+  des exercices précédents (parce que $\varepsilon$ est infini ou
+  parce que la somme est $\omega^0 + \omega^\varepsilon$), donc
+  $\varepsilon^{\varepsilon^\varepsilon} =
+  \omega^{\varepsilon^\varepsilon}$.  D'après la sous-question
+  précédente, c'est aussi $\omega^{\omega^{\varepsilon^2}}$ ou encore
+  $\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon\cdot 2}}}$.
+\end{corrige}
+
+
 %
 %
 %
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cgit v1.2.3

