From 04ec85128dece309d9168f7443fef9727e0efb8f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Mon, 22 Feb 2016 16:47:49 +0100
Subject: Isolate Brouwer's fixed point theorem.

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@@ -1057,10 +1057,13 @@ Nash.
 \end{thm}
 
 Pour démontrer le théorème en question, on utilise (et on admet) le
-théorème du point fixe de Brouwer, qui affirme que si $K$ est un
-convexe compact de $\mathbb{R}^m$, et que $T \colon K \to K$ est
-continue, alors il existe $x\in K$ tel que $T(x) = x$ (un \emph{point
-  fixe} de $T$, donc).
+théorème du point fixe de Brouwer, qui affirme que :
+
+\begin{thm}[L. E. J. Brouwer, 1910]\label{brouwer-fixed-point-theorem}
+Si $K$ est un convexe compact de $\mathbb{R}^m$, et que $T \colon K
+\to K$ est continue, alors il existe $x\in K$ tel que $T(x) = x$ (un
+\emph{point fixe} de $T$, donc).
+\end{thm}
 
 L'idée intuitive de la démonstration suivante est : partant d'un
 profil $s$ de stratégies, on peut définir continûment un nouveau
@@ -1104,10 +1107,11 @@ l'identité ci-dessus pour rendre l'expression plus simple à écrire,
 mais elle peut donner l'impression qu'on commet une « erreur
   d'homogénéité » en ajoutant un gain à une probabilité.)
 
-D'après la première expression donnée, il est clair qu'on a bien $s^\sharp_i
-\in S_i$, et qu'on a donc bien défini une fonction $T\colon S\to S$.
-Cette fonction est continue, donc admet un point fixe $s$.  On va
-montrer que $s$ est un équilibre de Nash.
+D'après la première expression donnée, il est clair qu'on a bien
+$s^\sharp_i \in S_i$, et qu'on a donc bien défini une fonction
+$T\colon S\to S$.  Cette fonction est continue, donc admet un point
+fixe $s$ d'après \ref{brouwer-fixed-point-theorem}.  On va montrer que
+$s$ est un équilibre de Nash.
 
 Si $1\leq i\leq N$, il existe $a \in A_i$ tel que $u_i(s_{?i},a) \leq
 u_i(s)$ (car, comme dans la preuve
@@ -1184,7 +1188,8 @@ convaincre que s'il existe $\tilde x$ tel que $u(\tilde x,y) > u(x,y)$
 alors il y a un $i$ tel que ceci soit vrai en remplaçant $\tilde x$
 par $x_i$, et on a alors $\varphi_i(x,y)>0$ donc $u(x^\sharp,y) >
 u(x,y)$) ; et on a un résultat analogue pour $y$.  La fonction $T$
-continue du compact convexe $C\times C'$ vers lui-même y admet un
+continue du compact convexe $C\times C'$ vers lui-même y admet
+d'après \ref{brouwer-fixed-point-theorem} un
 point fixe $(x_0,y_0)$, vérifiant donc $(x_0^\sharp, y_0^\sharp) =
 (x_0,y_0)$, c'est-à-dire que $u (x_0,y_0) = \max_{x\in C} u(x,y_0) =
 \min_{y\in C'} u(x_0, y)$.  On a donc maintenant
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