From 2b4bbf23ac224c1043ca0a68975f2ca6dd36b85c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Mon, 14 Mar 2016 15:51:06 +0100
Subject: Split section on well-founded sets.  Upper bounds of ordinals.

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 notes-mitro206.tex | 40 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++---
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@@ -3641,7 +3641,8 @@ un entier naturel non nul.
 
 \subsection{Ensembles bien-ordonnés et induction transfinie}
 
-\thingy Un ensemble \textbf{[partiellement] ordonné} est un ensemble
+\thingy\label{definition-well-ordered-set}
+Un ensemble \textbf{[partiellement] ordonné} est un ensemble
 muni d'une relation $>$ (d'ordre \emph{strict}) qui soit à la fois
 \begin{itemize}
 \item irréflexive ($x>x$ n'est jamais vrai quel que soit $x$), et
@@ -3725,6 +3726,10 @@ autrement dit, on peut librement utiliser la valeur de $f(y)$
 pour $y<x$, dans la définition de $f(x)$.
 \end{scho}
 
+
+
+\subsection{Comparaison d'ensembles bien-ordonnés, et ordinaux}
+
 \thingy Avant d'énoncer les résultats suivants, faisons une remarque
 évidente et une définition.  La remarque est que si $W$ est
 bien-ordonné et $E \subseteq W$ est un sous-ensemble de $W$, alors $E$
@@ -3890,16 +3895,22 @@ pas égal — ceci résulte d'une induction transfinie sur $x$).
 Les ordinaux de von Neumann ont l'avantage d'être des ensembles
 bien-définis et de vérifier $\beta < \alpha$ si et seulement si $\beta
 \in \alpha$ ; ils ont comme inconvénient d'être peut-être plus
-difficiles à visualiser.
+difficiles à visualiser.  Mais même si on n'identifie pas $\alpha =
+\#W$ à l'ensemble des ordinaux strictement plus petits, il est
+important de garder à l'esprit que l'ensemble des ordinaux strictment
+plus petits est $\{\#\precs(x) : x \in W\}$ (par définition de
+l'ordre !), et que $\alpha = \#\{\beta < \alpha\}$ (idem).
 
 Le théorème \ref{comparison-of-well-ordered-sets} a la conséquence
 importante suivante sur les ordinaux :
 
-\begin{thm}
+\begin{thm}\label{sets-of-ordinals-are-well-ordered}
 Tout ensemble d'ordinaux est bien-ordonné : deux ordinaux sont
 toujours comparables (on a toujours $\beta<\alpha$ ou $\beta>\alpha$
 ou $\beta=\alpha$), et il n'existe pas de suite infinie strictement
 décroissante d'ordinaux.
+
+Autrement dit : dans tout ensemble d'ordinaux il y en a un plus petit.
 \end{thm}
 \begin{proof}
 Le théorème \ref{comparison-of-well-ordered-sets} signifie exactement
@@ -3912,6 +3923,29 @@ suivant s'écrit $\#\precs(w_i)$ pour un $w_i \in W$, et
 d'après \ref{triviality-on-comparison-of-initial-segments-in-well-ordered-sets}
 on devrait avoir une suite strictement décroissante $w_1 > w_2 >
 \cdots$ dans $W$, ce qui contredit le fait que $W$ est bien-ordonné.
+
+La dernière affirmation vient de l'équivalence entre (*) et (\dag)
+dans \ref{definition-well-ordered-set}.
+\end{proof}
+
+\begin{prop}
+Tout ensemble $S$ d'ordinaux a une borne supérieure : autrement dit,
+il existe un ordinal $\sup S$ qui est le plus petit majorant (large)
+de $S$.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+D'après ce qu'on vient de voir (dernière affirmation
+de \ref{sets-of-ordinals-are-well-ordered}), il suffit de montrer
+qu'il existe un majorant de $S$.  Quitte à remplacer $S$ par sa
+réunion avec l'ensemble des ordinaux inférieurs à un ordinal
+quelconque de $S$ (pour les ordinaux de von Neumann, ceci revient à
+remplacer $S$ par $S \cup \bigcup_{\alpha\in S} \alpha$), on peut
+supposer que (*) si $\alpha \in S$ et $\beta < \alpha$ alors $\beta
+\in S$.  On vient de voir que $S$ est bien-ordonné : si $\alpha =
+\#S$, montrons qu'il s'agit d'un majorant de $S$ ; or si $\beta \in
+S$, on a $\beta = \#\precs_S(\beta)$ d'après l'hypothèse (*) qu'on
+vient d'assurer, et la définiton de l'ordre sur les ordinaux donne
+$\beta<\alpha$.
 \end{proof}
 
 
-- 
cgit v1.2.3

