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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Tue, 16 Feb 2016 14:20:58 +0100
Subject: Move the ultimatum game further down.

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 notes-mitro206.tex | 93 +++++++++++++++++++++++++++---------------------------
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@@ -334,51 +334,6 @@ Puits&$+1,-1$&$-1,+1$&$+1,-1$&$0,0$\\
 \end{tabular}
 \end{center}
 
-\thingy Le \textbf{jeu du partage} ou \textbf{de l'ultimatum} : Alice
-et Bob ont $10$ points à se partager : Alice choisit un $k$ entre $0$
-et $10$ entier (disons), la partie qu'elle se propose de garder pour
-elle, \emph{puis} Bob choisit, en fonction du $k$ proposé par Alice,
-d'accepter ou de refuser le partage : s'il accepte, Alice reçoit le
-gain $k$ et Bob reçoit le gain $10-k$, tandis que si Bob refuse, les
-deux reçoivent $0$.  Cette fois, il ne s'agit pas d'un jeu à somme
-nulle !
-
-Variante : Alice choisit $k$ et \emph{simultanément} Bob choisit
-$\varphi \colon \{0,\ldots,10\} \to \{\textrm{accepte},\penalty0
-\textrm{refuse}\}$.  Si $\varphi(k) = \textrm{accepte}$ alors Alice
-reçoit $k$ et Bob reçoit $10-k$, tandis que si $\varphi(k) =
-\textrm{refuse}$ alors Alice et Bob reçoivent tous les deux $0$.  Ceci
-revient (cf. \ref{question-preposing-moves}) à demander à Bob de
-préparer sa réponse $\varphi(k)$ à tous les coups possibles d'Alice
-(notons qu'Alice n'a pas connaissance de $\varphi$ quand elle
-choisit $k$, les deux sont choisis simultanément).  On se convainc
-facilement que si Bob accepte $k$, il devrait aussi accepter tous
-les $k'\leq k$, d'où la nouvelle :
-
-Variante : Alice choisit $k$ entre $0$ et $10$ (la somme qu'elle
-propose de se garder) et \emph{simultanément} Bob choisit $\ell$ entre
-$0$ et $10$ (le maximum qu'il accepte qu'Alice garde pour elle) : si
-$k\leq \ell$ alors Alice reçoit $k$ et Bob reçoit $10-k$, tandis que
-si $k>\ell$ alors Alice et Bob reçoivent tous les deux $0$.
-
-Ce jeu peut sembler paradoxal pour la raison suivante : dans la
-première forme proposée, une fois $k$ choisi, on il semble que Bob ait
-toujours intérêt à accepter le partage dès que $k<10$ (il gagnera
-quelque chose, alors que s'il refuse il ne gagne rien) ; pourtant, on
-a aussi l'impression que refuser un partage pour $k>5$ correspond à
-refuser un chantage (Alice dit en quelque sorte à Bob « si tu
-n'acceptes pas la petite part que je te laisse, tu n'auras rien du
-tout »).
-
-Dans la troisième forme, qui est censée être équivalente, on verra
-qu'il existe plusieurs équilibres de Nash, ceux où $\ell=k$ (les deux
-joueurs sont d'accord sur le partage) et celui où $k=10$ et $\ell=0$
-(les deux joueurs demandent tous les deux la totalité du butin, et
-n'obtiennent rien).  Un « équilibre de Nash »
-(cf. \ref{definition-best-response-and-nash-equilibrium}) signifie que
-dans cette situation, aucun des joueurs n'améliorerait son gain en
-changeant unilatéralement le coup qu'il joue.
-
 \thingy Le \textbf{dilemme du prisonnier} : Alice et Bob choisissent
 simultanément une option parmi « coopérer » ou « faire défaut ».  Les
 gains sont déterminés par la matrice suivante :
@@ -430,8 +385,10 @@ chaque joueur a intérêt à faire le contraire de ce que fait l'autre
 colombe, Alice a intérêt à jouer faucon).
 
 On pourra se convaincre que ce jeu a trois équilibres de Nash
-(cf. \ref{definition-best-response-and-nash-equilibrium}) : l'un où
-Alice joue colombe et Bob joue faucon, un deuxième où c'est le
+(cf. \ref{definition-best-response-and-nash-equilibrium} ; en gros, il
+s'agit d'une situation dans laquelle aucun des joueurs n'améliorerait
+son gain en changeant \emph{unilatéralement} la stratégie employée) :
+l'un où Alice joue colombe et Bob joue faucon, un deuxième où c'est le
 contraire, et un troisième où chacun joue colombe ou faucon avec les
 probabilités respectives $\frac{L-X}{W-T + L-X}$ et $\frac{W-T}{W-T +
   L-X}$ (avec les valeurs ci-desssus : $\frac{2}{3}$ et
@@ -464,6 +421,48 @@ $\frac{1}{3}$), pour un gain espéré de $\frac{PQ-N^2}{P+Q-2N}$ (avec
 les valeurs ci-dessus : $\frac{2}{3}$).  Remarquablement, ce gain
 espéré est inférieur à $Q$.
 
+\thingy Le \textbf{jeu du partage} ou \textbf{de l'ultimatum} : Alice
+et Bob ont $10$ points à se partager : Alice choisit un $k$ entre $0$
+et $10$ entier (disons), la partie qu'elle se propose de garder pour
+elle, \emph{puis} Bob choisit, en fonction du $k$ proposé par Alice,
+d'accepter ou de refuser le partage : s'il accepte, Alice reçoit le
+gain $k$ et Bob reçoit le gain $10-k$, tandis que si Bob refuse, les
+deux reçoivent $0$.  Cette fois, il ne s'agit pas d'un jeu à somme
+nulle !
+
+Variante : Alice choisit $k$ et \emph{simultanément} Bob choisit
+$\varphi \colon \{0,\ldots,10\} \to \{\textrm{accepte},\penalty0
+\textrm{refuse}\}$.  Si $\varphi(k) = \textrm{accepte}$ alors Alice
+reçoit $k$ et Bob reçoit $10-k$, tandis que si $\varphi(k) =
+\textrm{refuse}$ alors Alice et Bob reçoivent tous les deux $0$.  Ceci
+revient (cf. \ref{question-preposing-moves}) à demander à Bob de
+préparer sa réponse $\varphi(k)$ à tous les coups possibles d'Alice
+(notons qu'Alice n'a pas connaissance de $\varphi$ quand elle
+choisit $k$, les deux sont choisis simultanément).  On se convainc
+facilement que si Bob accepte $k$, il devrait aussi accepter tous
+les $k'\leq k$, d'où la nouvelle :
+
+Variante : Alice choisit $k$ entre $0$ et $10$ (la somme qu'elle
+propose de se garder) et \emph{simultanément} Bob choisit $\ell$ entre
+$0$ et $10$ (le maximum qu'il accepte qu'Alice garde pour elle) : si
+$k\leq \ell$ alors Alice reçoit $k$ et Bob reçoit $10-k$, tandis que
+si $k>\ell$ alors Alice et Bob reçoivent tous les deux $0$.
+
+Ce jeu peut sembler paradoxal pour la raison suivante : dans la
+première forme proposée, une fois $k$ choisi, on il semble que Bob ait
+toujours intérêt à accepter le partage dès que $k<10$ (il gagnera
+quelque chose, alors que s'il refuse il ne gagne rien) ; pourtant, on
+a aussi l'impression que refuser un partage pour $k>5$ correspond à
+refuser un chantage (Alice dit en quelque sorte à Bob « si tu
+n'acceptes pas la petite part que je te laisse, tu n'auras rien du
+tout »).
+
+Dans la troisième forme, qui est censée être équivalente, on verra
+qu'il existe plusieurs équilibres de Nash, ceux où $\ell=k$ (les deux
+joueurs sont d'accord sur le partage) et celui où $k=10$ et $\ell=0$
+(les deux joueurs demandent tous les deux la totalité du butin, et
+n'obtiennent rien).
+
 \thingy Un jeu idiot : Alice et Bob choisissent simultanément chacun
 un entier naturel.  Celui qui a choisi le plus grand gagne (en cas
 d'égalité, on peut déclarer le nul, ou décider arbitrairement qu'Alice
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cgit v1.2.3

