From 6a14a27736d556adc96a2b26f1ba30cd420b0b47 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Mon, 11 Apr 2016 12:10:53 +0200
Subject: Various additions or clarifications after course on 2016-04-11.

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@@ -4965,11 +4965,11 @@ ensemble contenant $\alpha_1\oplus\alpha_2'$, donc il ne peut pas lui
 être égal, d'où une contradiction.
 \end{proof}
 
-\begin{prop}\label{nim-sum-for-games-versus-ordinals}
+\begin{thm}\label{nim-sum-for-games-versus-ordinals}
 Si $G_1,G_2$ sont deux jeux combinatoires impartiaux bien-fondés ayant
 valeurs de Grundy respectivement $\alpha_1,\alpha_2$, alors la valeur
 de Grundy de $G_1\oplus G_2$ est $\alpha_2\oplus\alpha_2$.
-\end{prop}
+\end{thm}
 \begin{proof}
 On procède par induction bien-fondée sur les positions de $G_1\oplus
 G_2$ (ce qui est justifié d'après \ref{nim-sum-is-well-founded}) : il
@@ -5021,9 +5021,9 @@ est différent de $\alpha_1 \oplus (\alpha_2\oplus\alpha_3)$.  Les cas
 \end{proof}
 \begin{proof}[Seconde démonstration]
 Cela résulte de l'associativité de $\oplus$ sur les jeux et de
-l'observation que $\alpha_1\oplus\alpha_2\oplus\alpha_2 =
-\gr(*\alpha_1 \oplus *\alpha_2 \oplus *\alpha_3)$ en
-utilisant \ref{nim-sum-for-games-versus-ordinals}.
+l'observation que $(\alpha_1\oplus\alpha_2)\oplus\alpha_3 =
+\gr(((*\alpha_1) \oplus (*\alpha_2)) \oplus (*\alpha_3))$ qui
+utilise \ref{nim-sum-for-games-versus-ordinals}.
 \end{proof}
 
 \begin{prop}\label{nim-sum-has-characteristic-two}
@@ -5054,7 +5054,7 @@ $\alpha_1\oplus\cdots\oplus\beta_i\oplus \cdots\oplus\alpha_n$, où
 exactement un des $\alpha_i$ a été remplacé par un ordinal $\beta_i$
 strictement plus petit.
 \end{prop}
-\begin{proof}
+\begin{proof}[Première démonstration]
 On procède par récurrence sur $n$.  Tout d'abord, en
 utilisant \ref{nim-sum-cancellative}, on voit que chaque $\alpha_1
 \oplus \cdots \oplus \beta_i \oplus \cdots \oplus \alpha_n$ est
@@ -5074,6 +5074,16 @@ bien que $\alpha_1 \oplus \cdots \oplus \alpha_n$ est le plus petit
 ordinal qui ne soit pas de la forme $\alpha_1 \oplus \cdots \oplus
 \beta \oplus \cdots \oplus \alpha_n$, comme souhaité.
 \end{proof}
+\begin{proof}[Seconde démonstration]
+En appliquant \ref{nim-sum-for-games-versus-ordinals} (et une
+récurrence immédiate sur $n$), on voit que
+$\alpha_1\oplus\cdots\oplus\alpha_n =
+\gr((*\alpha_1)\oplus\cdots\oplus(*\alpha_n))$.  Or les positions de
+$(*\alpha_1)\oplus\cdots\oplus(*\alpha_n)$ sont justement les
+$(*\alpha_1)\oplus\cdots\oplus(*\beta_i)\oplus
+\cdots\oplus(*\alpha_n)$ pour $\beta_i < \alpha_i$, et la conclusion
+découle de la définition de $\gr$.
+\end{proof}
 
 \begin{prop}\label{nim-sum-of-powers-of-two-is-ordinary-sum}
 Soient $\gamma_1 > \cdots > \gamma_r$ des ordinaux : alors la somme
@@ -5096,7 +5106,7 @@ un certain $\beta_i < 2^{\gamma_i}$.  Pour ceci
 Or dans la somme de nim $2^{\gamma_1} \oplus \cdots \oplus \beta_i
 \oplus \cdots \oplus 2^{\gamma_r}$ avec $\beta_i < 2^{\gamma_i}$, en
 écrivant $\beta_i$ en binaire et en utilisant l'hypothèse d'induction,
-on a $beta_i = 2^{\gamma'_1} \oplus \cdots \oplus 2^{\gamma'_s}$ où
+on a $\beta_i = 2^{\gamma'_1} \oplus \cdots \oplus 2^{\gamma'_s}$ où
 $\gamma_i > \gamma'_1 > \cdots > \gamma'_s$.  Avec les propriétés déjà
 démontrées sur la somme de nim (commutativité, associativité, et
 surtout \ref{nim-sum-has-characteristic-two}), on peut supprimer les
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cgit v1.2.3

