From 811f834984b4f04b71dfe53453a08ec30f6fba52 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Mon, 11 Apr 2016 20:04:48 +0200
Subject: Connection between the "sign" of a partizan game and the "signs" of
 its options.

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 notes-mitro206.tex | 52 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--
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@@ -5470,7 +5470,6 @@ définition, et de même « Blaise a une stratégie gagnante dans [le jeu
   joueur a une stratégie gagnante dans [le jeu impartial] $\tilde
   G_{\mathrm{R}}$ » et de même en échangeant simultanément Blaise et
 Roxane et $L$ et $R$.  Bref, on a les équivalences suivantes :
-
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccc}
 $G\doteq 0$&ssi&$\tilde G_{\mathrm{L}}\doteq 0$&et&$\tilde G_{\mathrm{R}}\doteq 0$\\
@@ -5481,7 +5480,6 @@ $G\geq 0$&ssi&&&$\tilde G_{\mathrm{R}}\doteq 0$\\
 $G\leq 0$&ssi&$\tilde G_{\mathrm{L}}\doteq 0$&&\\
 \end{tabular}
 \end{center}
-
 où lorsque $H$ est un jeu combinatoire impartial on a écrit $H\doteq
 0$ pour dire que sa position initiale est une P-position (si on
 préfère, $\gr(H) = 0$) et $H\fuzzy 0$ pour dire qu'elle est une
@@ -5533,6 +5531,56 @@ On voit bien qu'il s'agit de jeux très différents, et la première
 construction (la somme disjonctive de jeux partisans) est plus
 naturelle si on doit étudier quel joueur a une avance sur lequel.
 
+\thingy Même si la construction $\tilde G$ n'est pas compatible avec
+la somme comme on vient de l'expliquer, on peut se rappeler que, pour
+toute position $x$ d'un jeu impartial $H$, on a $x \doteq 0$ si et
+seulement si $y \fuzzy 0$ pour tout voisin sortant $y$ de $x$, et
+inversement $x \fuzzy 0$ si et seulement si $y \doteq 0$ pour un
+voisin sortant $y$ de $x$ (c'est une reformulation
+de \ref{definition-grundy-kernel}).  On en déduit :
+
+\begin{prop}
+Soit $G$ un jeu combinatoire partisan bien-fondé.  Alors pour toute
+option $x$ de $G$ (identifiée au jeu ayant $x$ pour position
+initiale) :
+\begin{itemize}
+%% \item On a $x \doteq 0$ si et seulement si : $\ell \vartriangleleft 0$
+%%   pour tout voisin sortant \emph{bleu} $\ell$ de $x$, et $r
+%%   \vartriangleright 0$ pour tout voisin sortant \emph{rouge}
+%%   $r$ de $x$.
+%% \item On a $x > 0$ si et seulement si : $\ell \geq 0$ pour au moins un
+%%   voisin sortant \emph{bleu} $\ell$ de $x$, et $r \vartriangleright 0$
+%%   pour tout voisin sortant \emph{rouge} $r$ de $x$.
+%% \item On a $x < 0$ si et seulement si : $\ell \vartriangleleft 0$ pour
+%%   tout voisin sortant \emph{bleu} $\ell$ de $x$, et $r \leq 0$ pour au
+%%   moins un voisin sortant \emph{rouge} $r$ de $x$.
+%% \item On a $x \fuzzy 0$ si et seulement si : $\ell \geq 0$ pour au moins un
+%%   voisin sortant \emph{bleu} $\ell$ de $x$, et $r \leq 0$ pour au
+%%   moins un voisin sortant \emph{rouge} $r$ de $x$.
+\item On a $x \geq 0$ si et seulement si : $r \vartriangleright 0$
+  pour tout voisin sortant \emph{rouge} $r$ de $x$.
+\item On a $x \leq 0$ si et seulement si : $\ell \vartriangleleft 0$
+  pour tout voisin sortant \emph{bleu} $\ell$ de $x$.
+\item On a $x \vartriangleright 0$ si et seulement si : $\ell \geq 0$
+  pour au moins un voisin sortant \emph{bleu} $\ell$ de $x$.
+\item On a $x \vartriangleleft 0$ si et seulement si : $r \leq 0$ pour
+  au moins un voisin sortant \emph{rouge} $r$ de $x$.
+\end{itemize}
+Autrement dit : une position positive est une position depuis laquelle
+Roxane ne peut jouer que vers des positions non négatives
+(=strictement positives ou floues) ; et une position négative est une
+position depuis laquelle Blaise ne peut jouer que vers des positions
+non positives (=strictement négatives ou floues).
+\end{prop}
+\begin{proof}
+On a par exemple $x \geq 0$ ssi et seulement si $\tilde x_{\mathrm{R}}
+\doteq 0$, soit si et seulement si tout $\tilde y_{\mathrm{L}} =
+(y,\mathrm{L})$ voisin sortant de $\tilde x_{\mathrm{R}} =
+(x,\mathrm{R})$ vérifie $\tilde y_{\mathrm{L}} \fuzzy 0$, c'est-à-dire
+$y \vartriangleright 0$ pour tout $y$ voisin sortant rouge de $x$.
+Les autres cas sont analogues.
+\end{proof}
+
 
 
 
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cgit v1.2.3

