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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sun, 14 Feb 2016 20:47:32 +0100
Subject: Battle of the sexes game.

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@@ -404,7 +404,8 @@ mutuellement.
 
 Ce jeu a été énormément étudié du point de vue économique,
 psychologique, politique, philosophique, etc., pour trouver des cadres
-d'étude justifiant que la coopération est rationnelle, ou pour montrer
+d'étude justifiant que la coopération est rationnelle, pour expliquer
+en quoi le jeu itéré (=répété) diffère du jeu simple, ou pour montrer
 que la notion d'équilibre de Nash est perfectible.
 
 \thingy Le jeu du \textbf{trouillard}, ou de la \textbf{colombe et du
@@ -434,9 +435,35 @@ Alice joue colombe et Bob joue faucon, un deuxième où c'est le
 contraire, et un troisième où chacun joue colombe ou faucon avec les
 probabilités respectives $\frac{L-X}{W-T + L-X}$ et $\frac{W-T}{W-T +
   L-X}$ (avec les valeurs ci-desssus : $\frac{2}{3}$ et
-$\frac{1}{3}$), pour un gain attendu de $\frac{LW - TX}{W-T + L-X}$
+$\frac{1}{3}$), pour un gain espéré de $\frac{LW - TX}{W-T + L-X}$
 (avec les valeurs ci-dessus : $\frac{4}{3}$).
 
+\thingy La \textbf{guerre des sexes}.  Alice et Bob veulent faire du
+sport ensemble : Alice préfère l'alpinisme, Bob préfère la boxe, mais
+tous les deux préfèrent faire quelque chose avec l'autre que
+séparément.  D'où les gains suivants :
+
+\begin{center}
+\begin{tabular}{r|cc}
+$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&Alpinisme&Boxe\\\hline
+Alpinisme&$2,1$&$0,0$\\
+Boxe&$0,0$&$1,2$\\
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+Ou plus généralement, en remplaçant $2,1,0$ par trois nombres
+$P$ (préféré), $Q$ (autre), $N$ (nul) tels que $P>Q>N$.
+
+On pourra se convaincre que ce jeu a trois équilibres de Nash
+(cf. \ref{definition-best-response-and-nash-equilibrium}) : l'un où
+les deux joueurs vont à l'alpinisme, un deuxième où les deux vont à la
+boxe, et un troisième où chacun va à son activité préférée avec
+probabilité $\frac{P-N}{P+Q-2N}$ et à l'autre avec probabilité
+$\frac{Q-N}{P+Q-2N}$ (avec les valeurs ci-dessus : $\frac{2}{3}$ et
+$\frac{1}{3}$), pour un gain espéré de $\frac{PQ-N^2}{P+Q-2N}$ (avec
+les valeurs ci-dessus : $\frac{2}{3}$).  Remarquablement, ce gain
+espéré est inférieur à $Q$.
+
 \thingy Un jeu idiot : Alice et Bob choisissent simultanément chacun
 un entier naturel.  Celui qui a choisi le plus grand gagne (en cas
 d'égalité, on peut déclarer le nul, ou décider arbitrairement qu'Alice
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cgit v1.2.3

