From 31da0a43e9d10e506f317589db6a7715cfd86b1f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Mon, 4 Apr 2016 23:43:25 +0200
Subject: A few more additions and clarifications.

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 notes-mitro206.tex | 34 ++++++++++++++++++++++++++++++++--
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@@ -4012,9 +4012,13 @@ aussi définir $\#W$ comme l'écrasement transitif
 W\}$ où $\#x = \{\#y : y<x\}$, cette définition ayant bien un sens par
 induction transfinie (\ref{transfinite-definition}
 et \ref{scholion-transfinite-definition}).
+
+On appelle $\omega$ l'ordinal $\#\mathbb{N}$ de l'ensemble des entiers
+naturels, et on identifie tout entier naturel $n$ à l'ordinal de
+$\precs(n) = \{0,\ldots,n-1\}$ dans $\mathbb{N}$.
 \end{defn}
 
-\thingy Ces deux façons de définir les ordinaux reviennent
+\thingy Les deux façons de définir les ordinaux reviennent
 essentiellement au même : en effet, s'il y a une bijection croissante
 $W \to W'$ (forcément unique), alors les écrasements transitifs de $W$
 et $W'$ coïncident, et réciproquement, si les écrasements transitifs
@@ -4333,7 +4337,14 @@ suivantes :
 $\alpha$ peut s'écrire de façon unique comme $\alpha = \omega\gamma +
 r$ avec $r$ un entier naturel : on a alors $r>0$ si et seulement si
 $r$ est successeur (les ordinaux limites sont donc exactement les
-$\omega\gamma$ avec $\gamma>0$).
+$\omega\gamma$ avec $\gamma>0$) ; ce $r$ sera le « chiffre des
+unités » de l'écriture de $\alpha$ en forme normale de Cantor
+($\xi_{(0)}$ dans la notation de \ref{base-tau-writing-of-ordinals}).
+On peut aussi écrire tout ordinal $\alpha$ de façon unique comme
+$\alpha = 2\gamma + r$ avec $r$ valant $0$ ou $1$ : on peut dire que
+$\alpha$ est « pair » ou « impair » selon le cas (à titre d'exemple,
+$\omega$ est pair car $\omega = 2\cdot\omega$) ; ce $r$ sera de même
+le « chiffre des unités » de l'écriture binaire.
 
 \thingy On pourrait aussi définir des produits d'ordinaux, ces
 produits étant eux-mêmes indicés par d'autres ordinaux (le cas des
@@ -4404,6 +4415,25 @@ suivantes :
   transfinie).
 \end{itemize}
 
+Il peut être éclairant de vérifier $2^\omega = \omega$ avec les deux
+définitions de l'exponentiation.  Selon la définition avec des
+ensembles bien-ordonnés, $2^\omega = \#(\{0,1\}^{(\mathbb{N})})$ où
+$\{0,1\}^{(\mathbb{N})}$ est l'ensemble des suites de $0$ et de $1$
+dont presque tous les termes sont des $0$, ordonnées par l'ordre
+lexicographique donnant le plus de poids aux valeurs lointaines de la
+suite : or de telles suites peuvent se voir comme des écritures
+binaire (écrites à l'envers, i.e., en commençant par le poids faible),
+et se comparent comme des écritures binaires, si bien que
+$\{0,1\}^{(\mathbb{N})}$ est isomorphe, en tant qu'ensemble
+bien-ordonné, à l'ensemble $\mathbb{N}$ des naturels, et son ordinal
+est bien $\omega$.  Selon la définition inductive, $2^\omega$ est la
+limite de $2^n$ pour $n\to\omega$, c'est-à-dire la borne supérieure de
+$\{2^0,2^1,2^2,2^3,\ldots\}$, or cette borne supérieure est $\omega$
+(ce ne peut pas être plus, parce que tous les $2^n$ sont des entiers
+naturels donc majorés par $\omega$, et ce ne peut pas être moins car
+aucun ordinal $<\omega$, i.e., aucun entier naturel, ne majore tous
+les $2^n$).
+
 \thingy\label{base-tau-writing-of-ordinals} Soient $\alpha,\tau$ des
 ordinaux avec $\tau>1$ (dans la pratique, on ne s'intéressera guère
 qu'à $\tau = 2$ et $\tau = \omega$) : alors il existe une unique
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cgit v1.2.3

