From 2fa6f9fd3c20a3d7f107c3479f5e4553659c5201 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Tue, 23 Jun 2020 18:05:15 +0200
Subject: Write a file with sample questions (and remove them from the main
 bank).

---
 sample-2020qcm.tex | 334 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 334 insertions(+)
 create mode 100644 sample-2020qcm.tex

(limited to 'sample-2020qcm.tex')

diff --git a/sample-2020qcm.tex b/sample-2020qcm.tex
new file mode 100644
index 0000000..3ac1545
--- /dev/null
+++ b/sample-2020qcm.tex
@@ -0,0 +1,334 @@
+%% This is a LaTeX document.  Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
+\documentclass[12pt,a4paper]{article}
+\usepackage[francais]{babel}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+%\usepackage{ucs}
+\usepackage{times}
+% A tribute to the worthy AMS:
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsthm}
+%
+\usepackage{mathrsfs}
+\usepackage{wasysym}
+\usepackage{url}
+%
+\usepackage{graphics}
+\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{matrix,calc}
+\usepackage{hyperref}
+%
+%\externaldocument{notes-mitro206}[notes-mitro206.pdf]
+%
+\newenvironment{qcm}{\relax}{\relax}
+\newenvironment{qvar}{\relax}{\relax}
+\newcounter{quescnt}
+\newenvironment{question}%
+{\stepcounter{quescnt}\bigskip\noindent\textbf{Question~\arabic{quescnt}.}\par\nobreak}
+{\relax}
+\newcounter{answcnt}[quescnt]
+\newcommand\answer{%
+\stepcounter{answcnt}\smallskip\textbf{(\Alph{answcnt})}~}
+\let\rightanswer=\answer
+%
+\newcommand{\outnb}{\operatorname{outnb}}
+\newcommand{\downstr}{\operatorname{downstr}}
+\newcommand{\precs}{\operatorname{precs}}
+\newcommand{\mex}{\operatorname{mex}}
+\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
+\newcommand{\limp}{\Longrightarrow}
+\newcommand{\gr}{\operatorname{gr}}
+\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
+\newcommand{\fuzzy}{\mathrel{\|}}
+%
+\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
+%
+\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C}
+\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D}
+%
+\newif\ifcorrige
+\corrigetrue
+\newenvironment{corrige}%
+{\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi%
+\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}}
+{{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}%
+\ifcorrige\par\smallbreak\else\egroup\par\fi}
+%
+%
+%
+\begin{document}
+\ifcorrige
+\title{MITRO206\\Échantillon de questions — Corrigé\\{\normalsize Théories des jeux}}
+\else
+\title{MITRO206\\Échantillon de questions\\{\normalsize Théories des jeux}}
+\fi
+\author{}
+\date{26 juin 2020}
+\maketitle
+
+\pretolerance=8000
+\tolerance=50000
+
+\vskip1truein\relax
+
+\noindent\textbf{Consignes.}
+
+Ce contrôle de connaissances est un QCM (questionnaire à choix
+multiples).  Chaque question admet une unique réponse correcte.  Les
+questions sont totalement indépendantes les unes des autres.  La
+sélection des questions et l'ordre ont été tirés aléatoirement et
+n'obéissent donc à aucune logique particulière.
+
+La réponse est attendue sous forme d'une liste de numéros de question
+suivie de la réponse proposée : par exemple, « \verb=1A 2B 4D= » pour
+signifier que la réponse proposée à la question 1 est (A), la réponse
+proposée à la question 2 est (B), et la réponse proposée à la
+question 4 est (D).
+
+Une réponse incorrecte sera (deux fois) plus fortement pénalisée
+qu'une absence de réponse : il est donc préférable de ne pas répondre
+à une question que de répondre aléatoirement.
+
+\medbreak
+
+Durée : 1h de 17h30 à 18h30
+
+\vfill
+
+%% \noindent
+%% Sujet généré pour : \texttt{\seedval}
+
+\medskip
+
+{\tiny\noindent
+\immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex}
+Git: \input{vcline.tex}
+\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex}
+\par}
+
+\pagebreak
+
+\begin{qcm}
+
+\begin{question}
+
+Auquel ordinaux suivants est égal $2^{\omega^2}$ (lire : $2$ puissance
+$\omega^2$) ?
+
+\answer
+$\omega^{\omega^\omega}$
+
+\rightanswer
+$\omega^\omega$
+
+\answer
+$\omega^{\omega^2}$
+
+\answer
+$\omega^2$
+
+\answer
+$\omega$
+
+\end{question}
+
+\begin{corrige}
+On a $2^{\omega^2} = 2^{\omega\times\omega} = (2^\omega)^\omega =
+\omega^\omega$, donc réponse \textbf{(B)}.
+\end{corrige}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{question}
+
+Considérons le jeu à somme nulle, symétrique, entre Alice et Bob, dont
+la matrice des gains est donnée par le tableau suivant (Alice choisit
+la ligne, Bob choisit la colonne, le tableau donne le gain d'Alice et
+le gain de Bob est l'opposé de la valeur indiquée) :
+
+\begin{center}
+\begin{tabular}{r|rrrrr}
+$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&U&V&W&X&Y\\\hline
+U&$0$&$+2$&$0$&$-2$&$+1$\\
+V&$-2$&$0$&$+1$&$+1$&$+2$\\
+W&$0$&$-1$&$0$&$+1$&$+1$\\
+X&$+2$&$-1$&$-1$&$0$&$+2$\\
+Y&$-1$&$-2$&$-1$&$-2$&$0$\\
+%% m = Matrix(QQ, 5, 5, [[0, 2, 0, -2, 1], [-2, 0, 1, 1, 2], [0, -1, 0, 1, 1], [2, -1, -1, 0, 2], [-1, -2, -1, -2, 0]])
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+Laquelle des réponses suivantes est une stratégie optimale à ce jeu ?
+(Chaque réponse proposée est la liste des probabilités de jouer les
+options U,V,W,X,Y dans cet ordre.)
+
+\answer
+$(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 0, \frac{1}{3}, 0)$
+
+\answer
+$(0, \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 0)$
+
+\answer
+$(0, 0, 0, 0, 1)$
+
+\rightanswer
+$(\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, 0, \frac{2}{5}, 0)$
+
+\end{question}
+
+\begin{corrige}
+Dans un jeu à somme nulle, les équilibres de Nash sont exactement les
+paires de stratégies optimales.  Ici le jeu est symétrique, donc les
+stratégies optimales seront les mêmes pour les deux joueurs et la
+valeur $v$ du jeu sera $0$.  Pour vérifier qu'une stratégie est
+optimale, il s'agit donc de vérifier que si les deux joueurs la joue,
+aucun ne peut faire mieux en jouant une stratégie pure différente.  On
+calcule donc les combinaisons des lignes du tableau dont les
+coefficients sont donnés par les probabilités dans les différentes
+réponses, et la seule dont toutes les valeurs sont $\geq v$ est
+$(\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, 0, \frac{2}{5}, 0)$.
+Réponse \textbf{(D)}.
+\end{corrige}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{question}
+
+On considère le jeu combinatoire (impartial, à information parfaite)
+associé au graphe orienté acyclique représenté ci-dessous, la position
+de départ étant notée $s$ :
+
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[>=stealth,thick,text width=5bp,text height=5bp,text depth=0bp]
+\node (n00) at (0bp,0bp) [draw,circle] {};
+\node (n01) at (40bp,0bp) [draw,circle] {};
+\node (n02) at (80bp,0bp) [draw,circle] {};
+\node (n10) at (0bp,-40bp) [draw,circle] {};
+\node (n11) at (40bp,-40bp) [draw,circle] {};
+\node (n12) at (80bp,-40bp) [draw,circle] {};
+\node (n20) at (0bp,-80bp) [draw,circle] {};
+\node (n21) at (40bp,-80bp) [draw,circle] {};
+\node (n22) at (80bp,-80bp) [draw,circle] {$s$};
+\draw[->] (n01) -- (n00);  \draw[->] (n02) -- (n01);
+\draw[->] (n11) -- (n10);  \draw[->] (n12) -- (n11);
+\draw[->] (n21) -- (n20);  \draw[->] (n22) -- (n21);
+\draw[->] (n10) -- (n00);  \draw[->] (n20) -- (n10);
+\draw[->] (n11) -- (n01);  \draw[->] (n21) -- (n11);
+\draw[->] (n12) -- (n02);  \draw[->] (n22) -- (n12);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+Quelle est la valeur de Grundy du jeu (i.e., celle de la
+position $s$) ?
+
+\answer
+$4$
+
+\answer
+$2$
+
+\rightanswer
+$0$
+
+\answer
+$1$
+
+\answer
+$3$
+
+\end{question}
+
+\begin{corrige}
+On calcule les valeurs de Grundy de proche en proche (c'est-à-dire par
+induction bien-fondée), la valeur de Grundy d'une position étant le
+mex (= plus petite valeur exclue) des valeurs de Grundy de ses voisins
+sortants.  On trouve
+
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[>=stealth,thick,text width=5bp,text height=5bp,text depth=0bp]
+\node (n00) at (0bp,0bp) [draw,circle] {$0$};
+\node (n01) at (40bp,0bp) [draw,circle] {$1$};
+\node (n02) at (80bp,0bp) [draw,circle] {$0$};
+\node (n10) at (0bp,-40bp) [draw,circle] {$1$};
+\node (n11) at (40bp,-40bp) [draw,circle] {$0$};
+\node (n12) at (80bp,-40bp) [draw,circle] {$1$};
+\node (n20) at (0bp,-80bp) [draw,circle] {$0$};
+\node (n21) at (40bp,-80bp) [draw,circle] {$1$};
+\node (n22) at (80bp,-80bp) [draw,circle] {$0$};
+\draw[->] (n01) -- (n00);  \draw[->] (n02) -- (n01);
+\draw[->] (n11) -- (n10);  \draw[->] (n12) -- (n11);
+\draw[->] (n21) -- (n20);  \draw[->] (n22) -- (n21);
+\draw[->] (n10) -- (n00);  \draw[->] (n20) -- (n10);
+\draw[->] (n11) -- (n01);  \draw[->] (n21) -- (n11);
+\draw[->] (n12) -- (n02);  \draw[->] (n22) -- (n12);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+La réponse correcte est donc \textbf{(C)}.
+\end{corrige}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{question}
+
+Alice et Bob jouent au jeu de type Gale-Stewart suivant : chacun à son
+tour choisit un chiffre binaire (soit $0$ soit $1$ : Alice choisit
+$a_1$ puis Bob choisit $a_2$ puis Alice choisit $a_3$ et ainsi de
+suite).  Au bout d'un nombre infini de tours, on considère le nombre
+réel $x$ entre $0$ et $1$ dont l'écriture binaire fractionnaire est
+formée de ces chiffres (c'est-à-dire $x = \sum_{i=1}^{+\infty}
+a_i\,2^{-i}$, ou $0{.}a_1a_2a_3\ldots$ en écriture binaire) : si $x <
+\frac{1}{3}$, Alice gagne, tandis que si $x \geq \frac{1}{3}$, Bob
+gagne.  (À toutes fins utiles, on rappelle que $\frac{1}{3}$ s'écrit
+$0{.}01010101\ldots$ en binaire.)  Que pensez-vous de ce jeu ?
+
+\answer
+un joueur a une stratégie gagnante, mais il est impossible de savoir
+lequel
+
+\rightanswer
+Bob a une stratégie gagnante
+
+\answer
+Alice a une stratégie gagnante
+
+\answer
+aucun joueur n'a de stratégie gagnante
+
+\end{question}
+
+\begin{corrige}
+On peut faire remarquer que $[\frac{1}{3};1]$ est fermé (ou plus
+correctement, que l'ensemble des représentations binaires des réels
+de $[\frac{1}{3};1]$ est fermé pour la topologie produit) pour se
+convaincre qu'il existe forcément une stratégie gagnante pour au moins
+un joueur, mais en fait peu importe : Alice va manifestement jouer $0$
+à tous les coups et Bob jouer $1$ à tous les coups (on peut tracer le
+début de l'arbre binaire infini des possibilités pour y voir plus
+clair), si bien qu'on va tomber sur $\frac{1}{3}$ et Bob a une
+stratégie gagnante.  Réponse \textbf{(B)}.
+\end{corrige}
+
+
+%
+%
+%
+
+\end{qcm}
+
+%
+%
+%
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.3

