%% This is a LaTeX document.  Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
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% A tribute to the worthy AMS:
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%
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\theoremstyle{definition}
\newtheorem{comcnt}{Tout}
\newcommand\thingy{%
\refstepcounter{comcnt}\smallskip\noindent\textbf{\thecomcnt.} }
\newcommand\exercice{%
\refstepcounter{comcnt}\bigskip\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}}
\renewcommand{\qedsymbol}{\smiley}
%
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%
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    {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}}
\newcommand{\dbend}{\manfntsymbol{127}}% Z-shaped
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  \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}}
%
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{\ifcorrige\par\smallbreak\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi%
\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}}
{{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}%
\ifcorrige\relax\else\egroup\fi\par}
%
%
%
\begin{document}
\ifcorrige
\title{MITRO206\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Théorie des jeux}}
\else
\title{MITRO206\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Théorie des jeux}}
\fi
\author{}
\date{11 avril 2018}
\maketitle

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%% \immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex}
%% \begin{center}
%% Git: \input{vcline.tex}
%% \end{center}
%% \immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex}
%% \par}

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\tolerance=50000

\vskip1truein\relax

\noindent\textbf{Consignes.}

Les exercices sont totalement indépendants.  Ils pourront être traités
dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître de façon
très visible dans les copies où commence chaque exercice.

\medbreak

L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou
imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé.

L'usage des appareils électroniques est interdit.

\medbreak

Durée : 2h

\emph{Avertissement :} Les exercices ne sont pas tous une application
immédiate du cours ; il est parfois nécessaire de s'inspirer des
techniques ou raisonnements vus en cours pour raisonner dans des
cadres légèrement différents.

\vfill
{\noindent\tiny
\immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex}
Git: \input{vcline.tex}
\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex}
\par}

\pagebreak


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%

\exercice

On considère le jeu suivant entre $N$ joueurs (où $N\geq 3$ est
fixé) : chaque joueur choisit, indépendamment des autres, une des deux
options $E$ (« égoïste ») ou $A$ (« altruiste »).  Le but de chaque
joueur est de maximiser son gain, indépendamment des autres.  Le choix
$E$ apporte un gain de $1$ point au joueur qui le fait (en plus des
gains liés aux choix $A$ des autres comme expliqué dans la phrase
suivante).  Le choix $A$ apporte un gain de $2$ points, mais ces gains
sont mutualisés entre \emph{tous} les joueux, y compris ceux qui ont
choisi $E$.  Autrement dit, si $k$ joueurs choisissent l'option $A$,
chaque joueur gagne $\frac{2k}{N}$ à cause de ces choix (les $N-k$
joueurs qui ont choisi $E$ gagnent donc $1 + \frac{2k}{N}$ au total).

(0) Quel est le gain maximal d'un joueur dans ce jeu ?  Quel est le
gain minimal ?

(1) En supposant fixés les choix effectués par les $N-1$ autres
joueurs, exprimer le gain d'un joueur s'il choisit $E$ d'une part,
$A$ d'autre part ; calculer la différence entre ces deux gains.  Quel
est le signe de cette différence ?

(2) Expliciter tous les équilibres de Nash dans ce jeu (on indiquera
les stratégies pures ou mixtes intervenant dans l'équilibre, et le
gain espéré pour chaque joueur).

\medskip

On appelle maintenant \emph{stratégie rationnelle commune} une
stratégie mixte $s$ qui, si elle est suivie par tous les joueurs,
maximise le gain espéré de chaque joueur (il est le même pour chaque
joueur puisqu'on fait justement ici l'hypothèse qu'ils jouent tous
selon la même stratégie $s$).

(3) Expliciter la ou les stratégie(s) rationnelle(s) commune(s) au jeu
considéré ci-dessus.

(4) Commenter brièvement quant à la différence entre les réponses aux
questions (2) et (3).



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%

\refstepcounter{comcnt}\bigskip\noindent\textbf{Points bonus.}

(Ceci n'est pas un exercice à résoudre mais un choix à faire.)

Vous disposez de deux options : indiquez clairement sur votre copie si
vous souhaitez
\begin{itemize}
\item[(E)] obtenir $1$ point pour cette question, qui sera compté
  dans votre note, ou bien
\item[(A)] obtenir $2$ points pour cette question, qui seront
  mutualisés entre tous les participants.
\end{itemize}



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\end{document}