%% This is a LaTeX document.  Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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% A tribute to the worthy AMS:
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\newenvironment{qcm}{\relax}{\relax}
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{\stepcounter{quescnt}\bigskip\noindent\textbf{Question~\arabic{quescnt}.}\par\nobreak}
{\relax}
\newcounter{answcnt}[quescnt]
\newcommand\answer{%
\stepcounter{answcnt}\smallskip\textbf{(\Alph{answcnt})}~}
\let\rightanswer=\answer
%
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\begin{document}
\ifcorrige
\title{MITRO206\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Théories des jeux}}
\else
\title{MITRO206\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Théories des jeux}}
\fi
\author{}
\date{26 juin 2020}
\maketitle

\pretolerance=8000
\tolerance=50000

\vskip1truein\relax

\noindent\textbf{Consignes.}

Ce contrôle de connaissances est un QCM (questionnaire à choix
multiples).  Chaque question admet une unique réponse correcte.  Les
questions sont totalement indépendantes les unes des autres.  La
sélection des questions et l'ordre ont été tirés aléatoirement et
n'obéissent donc à aucune logique particulière.

La réponse est attendue sous forme d'une liste de numéros de question
suivie de la réponse proposée : par exemple, « \verb=1A 2B 4D= » pour
signifier que la réponse proposée à la question 1 est (A), la réponse
proposée à la question 2 est (B), et la réponse proposée à la
question 4 est (D).

Une réponse incorrecte sera (deux fois) plus fortement pénalisée
qu'une absence de réponse : il est donc préférable de ne pas répondre
à une question que de répondre aléatoirement.

\medbreak

Durée : 1h de 17h30 à 18h30

\vfill

\noindent
Sujet généré pour : \texttt{\seedval}

\medskip

{\tiny\noindent
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Git: \input{vcline.tex}
\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex}
\par}

\pagebreak

\begin{qcm}


%
%
%

\begin{question}

Considérons le jeu analogue à pierre-papier-ciseaux, sauf que les deux
joueurs \emph{détestent} choisir tous les deux la même option, si bien
que la matrice des gains est la suivante (ce n'est plus un jeu à somme
nulle !) :

\begin{center}
\begin{tabular}{r|ccc}
$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&Pierre&Papier&Ciseaux\\\hline
Pierre&$-100,-100$&$-1,+1$&$+1,-1$\\
Papier&$+1,-1$&$-100,-100$&$-1,+1$\\
Ciseaux&$-1,+1$&$+1,-1$&$-100,-100$\\
\end{tabular}
\end{center}

On considère deux profils de stratégies mixtes : (x) Alice et Bob
jouent tous les deux une option entre pierre, papier ou ciseaux
choisie aléatoirement avec probabilité $\frac{1}{3}$ (comme la
stratégie optimale dans le cas du jeu à somme nulle) ; et : (y) Alice
et Bob jouent tous les deux : papier avec probabilité $\frac{101}{200}
= 0.505$, pierre avec probabilité $\frac{99}{200} = 0.495$ et jamais
ciseaux.  Que pensez-vous de ces deux profils ?

\rightanswer
(x) est un équilibre de Nash, mais (y) n'en est pas un

\answer
(x) n'est pas un équilibre de Nash, mais (y) en est un

\answer
(x) et (y) sont tous les deux des équilibres de Nash

\answer
ni (x) ni (y) n'est un équilibre de Nash

\end{question}


%
%
%

\begin{question}

Ambre et Bastien ($8$ ans) jouent à
pierre-papier-ciseaux-éléphant-souris, dont les règles sont les
suivantes : chacun choisit une des cinq options (pierre, papier,
ciseau, éléphant ou souris) indépendamment de l'autre, et
\begin{itemize}
\item si les deux joueurs ont choisi la même option, le jeu est nul,
  sinon :
\item si les deux joueurs ont choisi parmi pierre, papier ou ciseaux,
  le gagnant est déterminé comme à pierre-papier-ciseaux (i.e., le
  papier gagne sur la pierre, les ciseaux gagnent sur le papier et la
  pierre gagne sur les ciseaux),
\item l'éléphant gagne sur tout sauf la souris,
\item la souris gagne sur l'éléphant et perd contre tout le reste.
\end{itemize}
(On accordera la valeur $+1$ au fait de gagner, $-1$ au fait de
perdre, et $0$ à un match nul.)

Quelle est la stratégie optimale à ce jeu ?

\rightanswer
jouer chacun de pierre, papier et ciseaux avec probabilité
$\frac{1}{9}$, éléphant avec probabilité $\frac{1}{3}$ et souris avec
probabilité $\frac{1}{3}$

\answer
jouer chacun de pierre, papier et ciseaux avec probabilité
$\frac{1}{3}$, et jamais éléphant ni souris

\answer
jouer chacun de pierre, papier, ciseaux avec probabilité
$\frac{1}{6}$, éléphant avec probabilité $\frac{1}{2}$ et jamais
souris

\answer
jouer chacun de pierre, papier et ciseaux avec probabilité
$\frac{1}{4}$, éléphant avec probabilité $\frac{1}{8}$ et souris avec
probabilité $\frac{1}{8}$

\answer
jouer chacune des cinq options avec probabilité $\frac{1}{5}$

\end{question}


%
%
%

\begin{question}

Alice et Bob jouent au jeu de type Gale-Stewart suivant : chacun à son
tour choisit un chiffre binaire (soit $0$ soit $1$ : Alice choisit
$a_1$ puis Bob choisit $a_2$ puis Alice choisit $a_3$ et ainsi de
suite).  Au bout d'un nombre infini de tours, on considère le nombre
réel $x$ entre $0$ et $1$ dont l'écriture binaire fractionnaire est
formée de ces chiffres (c'est-à-dire $x = \sum_{i=1}^{+\infty}
a_i\,2^{-i}$, ou $0{.}a_1a_2a_3\ldots$ en écriture binaire) : si $x
\leq \frac{1}{3}$, Alice gagne, tandis que si $x > \frac{1}{3}$, Bob
gagne.  (À toutes fins utiles, on rappelle que $\frac{1}{3}$ s'écrit
$0{.}01010101\ldots$ en binaire.)  Que pensez-vous de ce jeu ?

\rightanswer
Alice a une stratégie gagnante

\answer
Bob a une stratégie gagnante

\answer
aucun joueur n'a de stratégie gagnante

\answer
un joueur a une stratégie gagnante, mais il est impossible de savoir
lequel

\end{question}


%
%
%

\begin{question}

Alice et Bob jouent au jeu de type Gale-Stewart suivant : chacun à son
tour choisit un chiffre binaire (soit $0$ soit $1$ : Alice choisit
$a_1$ puis Bob choisit $a_2$ puis Alice choisit $a_3$ et ainsi de
suite).  Au bout d'un nombre infini de tours, on considère le nombre
réel $x$ entre $0$ et $1$ dont l'écriture binaire fractionnaire est
formée de ces chiffres (c'est-à-dire $x = \sum_{i=1}^{+\infty}
a_i\,2^{-i}$, ou $0{.}a_1a_2a_3\ldots$ en écriture binaire) : si $x <
\frac{1}{3}$, Alice gagne, tandis que si $x \geq \frac{1}{3}$, Bob
gagne.  (À toutes fins utiles, on rappelle que $\frac{1}{3}$ s'écrit
$0{.}01010101\ldots$ en binaire.)  Que pensez-vous de ce jeu ?

\rightanswer
Bob a une stratégie gagnante

\answer
Alice a une stratégie gagnante

\answer
aucun joueur n'a de stratégie gagnante

\answer
un joueur a une stratégie gagnante, mais il est impossible de savoir
lequel

\end{question}


%
%
%

\begin{question}

C'est à votre tour de jouer au jeu de nim dans une configuration où il
y a $1$, $4$, $10$ et $12$ bâtonnets sur les (quatre) lignes du jeu.
Que faites-vous (pour suivre la stratégie gagnante) ?

\rightanswer
retirer $1$ bâtonnet de la ligne qui en a $10$ (qui passe donc à $9$)

\answer
retirer $3$ bâtonnets de la ligne qui en a $10$ (qui passe donc à $7$)

\answer
retirer le seul bâtonnet de la ligne qui en a $1$ (qui disparaît donc)

\answer
retirer $3$ bâtonnets de la ligne qui en a $12$ (qui passe donc à $9$)

\end{question}


%
%
%

\begin{question}

C'est à votre tour de jouer au jeu de nim dans une configuration où il
y a $1$, $6$, $8$ et $12$ bâtonnets sur les (quatre) lignes du jeu.
Que faites-vous (pour suivre la stratégie gagnante) ?

\rightanswer
retirer $1$ bâtonnet de la ligne qui en a $6$ (qui passe donc à $5$)

\answer
retirer $3$ bâtonnets de la ligne qui en a $6$ (qui passe donc à $3$)

\answer
retirer le seul bâtonnet de la ligne qui en a $1$ (qui disparaît donc)

\answer
retirer $3$ bâtonnets de la ligne qui en a $8$ (qui passe donc à $5$)

\end{question}


%
%
%

\begin{question}

Alice et Bob jouent au jeu suivant sur un échiquier $8\times 8$ sur
lequel est positionné un unique pion (commun aux deux joueurs) :
\begin{itemize}
\item le pion démarre sur la case au coin sud-est de l'échiquier, et
  Alice joue en premier,
\item chaque joueur, tour à tour, déplace le pion d'une seule case,
  soit vers le nord, soit vers l'ouest, soit (en diagonale) vers le
  nord-ouest, mais sans dépasser les limites de l'échiquier,
\item celui qui atteint la case au coin nord-ouest de l'échiquier a
  \emph{gagné} (il revient au même de dire que le joueur qui ne peut
  plus jouer a perdu).
\end{itemize}

Que pensez-vous de ce jeu ?

\rightanswer
Alice a une stratégie gagnante, et (pour la suivre) doit commencer par
déplacer le pion en diagonale (d'une case vers le nord-ouest)

\answer
Alice a une stratégie gagnante, et (pour la suivre) doit commencer par
déplacer le pion d'une case vers le nord ou, indifféremment, vers
l'ouest

\answer
Alice a une stratégie gagnante, et (pour la suivre) peut commencer par
un coup quelconque

\answer
Bob a une stratégie gagnante

\end{question}


%
%
%

\begin{question}

On considère une variante du jeu de nim, mais avec la différence qu'on
peut retirer \emph{un ou deux} bâtonnets d'une seule ligne (et dans la
limite du nombre effectivement présent sur cette ligne !).  Par
exemple, à partir de la position $(1,2,3)$ (c'est-à-dire la position
dans laquelle il y $1$ bâtonnet sur une ligne, $2$ sur une autre, et
$3$ sur la troisième), on pourrait aller en $(0,2,3)$ ou $(1,1,3)$ ou
$(1,0,3)$ ou $(1,2,2)$ ou $(1,2,1)$ mais pas en $(1,2,0)$.

Laquelle des descriptions suivantes définit la stratégie gagnante de
ce jeu ?  (On pourra commencer par la valeur de Grundy de la position
où il y a une unique ligne avec $n$ bâtonnets, et se rappeler que la
valeur de Grundy de la somme de nim de deux jeux est la somme de nim
des valeurs de Grundy.)

\rightanswer
jouer de manière à ce qu'il y ait un nombre pair de lignes ayant un
nombre de bâtonnets congru à $1$ modulo $3$ et aussi un nombre pair de
lignes ayant un nombre de bâtonnets congru à $2$ modulo $3$

\answer
jouer de manière à ce qu'il y ait un nombre impair de lignes ayant un
nombre de bâtonnets congru à $1$ modulo $3$ et aussi un nombre pair de
lignes ayant un nombre de bâtonnets congru à $2$ modulo $3$

\answer
jouer de manière à ce qu'il y ait un nombre pair de lignes ayant un
nombre de bâtonnets non multiple de $3$

\answer
jouer de manière à ce que le nombre total de bâtonnets (sur toutes les
lignes) soit multiple de $3$

\end{question}


%
%
%

\begin{question}

Lequel des ordinaux suivants est le plus grand ?

\rightanswer
$(\omega^{(\omega^{(\omega\cdot 4)})\cdot 2})\cdot 3$

\answer
$(\omega^{(\omega^{(\omega\cdot 3)})\cdot 4})\cdot 2$

\answer
$(\omega^{(\omega^{(\omega\cdot 2)})\cdot 3})\cdot 4$

\end{question}


%
%
%

\begin{question}

Auquel ordinaux suivants est égal $\omega + \omega^2 +
\omega^\omega$ ?

\rightanswer
$\omega^\omega$

\answer
$\omega^\omega + \omega^2 + \omega$

\answer
$\omega$

\answer
$\omega^{\omega+1}$

\answer
$\omega^\omega\cdot 2$

\end{question}


%
%
%

\begin{question}

Auquel ordinaux suivants est égal $2^{\omega\cdot 2}$ (lire :
$2$ puissance $\omega\cdot 2$) ?

\rightanswer
$\omega^2$

\answer
$\omega$

\answer
$\omega^\omega$

\answer
$\omega^{\omega^2}$

\answer
$\omega^{\omega^\omega}$

\end{question}


%
%
%

\begin{question}

Auquel ordinaux suivants est égal $2^{\omega^2}$ (lire : $2$ puissance
$\omega^2$) ?

\rightanswer
$\omega^\omega$

\answer
$\omega$

\answer
$\omega^2$

\answer
$\omega^{\omega^2}$

\answer
$\omega^{\omega^\omega}$

\end{question}


\end{qcm}
%
%
%
\end{document}
