%% This is a LaTeX document.  Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
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% A tribute to the worthy AMS:
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%
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%
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\theoremstyle{definition}
\newtheorem{comcnt}{Whatever}
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\refstepcounter{comcnt}\smallskip\noindent\textbf{\thecomcnt.} }
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\refstepcounter{comcnt}\bigskip\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}\par\nobreak}
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%
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%
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\begin{document}
\ifcorrige
\title{CSC-4MI06-TP / MITRO206\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Théories des jeux}}
\else
\title{CSC-4MI06-TP / MITRO206\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Théories des jeux}}
\fi
\author{}
\date{2025-06-26}
\maketitle

\pretolerance=8000
\tolerance=50000

\vskip1truein\relax

\noindent\textbf{Consignes.}

Les exercices sont totalement indépendants.  Ils pourront être traités
dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître de façon
très visible dans les copies où commence chaque exercice.

\medbreak

L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou
imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé.

L'usage des appareils électroniques est interdit.

\medbreak

Durée : 2h

\ifcorrige
Ce corrigé comporte \textcolor{red}{XXX} pages (page de garde incluse).
\else
Cet énoncé comporte \textcolor{red}{XXX} pages (page de garde incluse).
\fi

\vfill
{\noindent\tiny
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Git: \input{vcline.tex}
\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex}
\par}

\pagebreak


%
%
%

\exercise

\textbf{(1)} On considère le jeu en forme normale symétrique à somme
nulle défini par la matrice de gain suivante :
\begin{center}
\begin{tabular}{r|ccc}
$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&Pierre&Papier&Ciseaux\\\hline
Pierre&$\hphantom{+}0$&$-1$&$+1$\\
Papier&$+1$&$\hphantom{+}0$&$-1$\\
Ciseaux&$-1$&$+1$&$\hphantom{+}0$\\
\end{tabular}
\end{center}
(Seul le gain d'Alice a été inscrit dans chaque case car les gains des
deux joueurs sont opposés.)

Rappeler brièvement quels sont tous les équilibres de Nash de ce jeu.

\smallskip

\textbf{(2)} On souhaite maintenant ajouter une nouvelle option au jeu
ci-dessus, c'est-à-dire qu'on considère le jeu en forme normale
(toujours symétrique et à somme nulle) défini par la matrice de
gains :
\begin{center}
\begin{tabular}{r|cccc}
$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&Pierre&Papier&Ciseaux&Foobar\\\hline
Pierre&$0$&$-1$&$+1$&$-x$\\
Papier&$+1$&$0$&$-1$&$-y$\\
Ciseaux&$-1$&$+1$&$0$&$-z$\\
Foobar&$x$&$y$&$z$&$0$\\
\end{tabular}
\end{center}
(Les trois sous-questions qui suivent sont indépendantes.)

\textbf{\hphantom{(2)} (a)} À quelle condition (nécessaire et
suffisante) sur $x,y,z$ les équilibres de Nash trouvés en (1) sont-ils
encore des équilibres de Nash pour ce nouveau jeu ?\quad\textbf{(b)} À
quelle condition (nécessaire et suffisante) sur $x,y,z$ y a-t-il un
équilibre de Nash où les deux joueurs jouent l'option Foobar (de façon
certaine) ?\quad\textbf{(c)} À quelle condition (nécessaire et
suffisante) sur $x,y,z$ y a-t-il un équilibre de Nash où les deux
joueurs jouent Pierre ou Foobar chacun avec
probabilité $\frac{1}{2}$ ?

\smallskip

\textbf{(3)} On reprend maintenant la matrice de gains écrite en (1),
mais cette fois les gains des deux joueurs seront \emph{égaux} au lieu
d'être opposés (ce n'est donc plus un jeu à somme nulle !), le tableau
donnant la valeur du gain commun aux deux joueurs.

\textbf{\hphantom{(3)} (a)} Montrer que les équilibres de Nash trouvés
en (1) sont encore des équilibres de Nash de ce nouveau
jeu.\quad\textbf{(b)} Donner au moins un équilibre de Nash différent
de ceux-ci.



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\end{document}