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\refstepcounter{comcnt}\bigbreak\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}}
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%
\begin{document}
\title{Exercices sur les ordinaux}
\author{David A. Madore}
\maketitle

\centerline{\textbf{MITRO206}}

{\footnotesize
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%
%
%

\exercice

\newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em}

Ranger les ordinaux suivants par ordre croissant :
\spaceout $\omega^{\omega+1} + \omega^\omega\cdot 33$ ;
\spaceout $\omega\cdot 3 + 42$ ;
\spaceout $\omega^{\omega+1} + \omega + 33$ ;
\spaceout $\omega^{\omega+2} + \omega^\omega$ ;
\spaceout $\omega^2\cdot 42 + 1000$ ;
\spaceout $\omega^2 + \omega$ ;
\spaceout $\omega^2\cdot 42 + \omega$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^2 + 1}$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^{(\omega\cdot 2)}}$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^\omega} + 1$ ;
\spaceout $\omega^{\omega+1} + \omega\cdot 33$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^2}$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^2 + 1} + \omega^{\omega\cdot 2}\cdot 1000$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^2 + \omega}$ ;
\spaceout $\omega\cdot 3$ ;
\spaceout $\omega^{(\omega^\omega\cdot 2)}$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^3}$ ;
\spaceout $\omega^{\omega+1} + 1000$ ;
\spaceout $\omega^{\omega+2}$ ;
\spaceout $\omega^{\omega+1}\cdot 2$ ;
\spaceout $\omega\cdot 2 + 1729$ ;
\spaceout $\omega^2 + 1000$ ;
\spaceout $42$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^2 + \omega} + \omega^{\omega^2 + 1}$ ;
\spaceout $\omega^{\omega\cdot 2}\cdot 1000$ ;
\spaceout $\omega^2\cdot 42$ ;
\spaceout $\omega^{\omega+1} + \omega^2\cdot 33$ ;
\spaceout $\omega^2$ ;
\spaceout $\omega$ ;
\spaceout $\omega^{\omega+1}$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^2 + 1} + \omega^{\omega^2}\cdot 42$ ;
\spaceout $\omega^{\omega\cdot 2} + \omega^{\omega+2}$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^2 + \omega} + \omega^{\omega^2} + \omega^{\omega+1}$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^{(\omega^2)}}$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^2 + 1}\cdot 2$ ;
\spaceout $\omega^2 + \omega\cdot 42$ ;
\spaceout $\omega + 42$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^2\cdot 2}$ ;
\spaceout $\omega^{\omega\cdot 2 + 42}$ ;
\spaceout $\omega^{\omega\cdot 2}$ ;
\spaceout $\omega\cdot 2$ ;
\spaceout $\omega^{\omega+1} + \omega^2 + 33$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^{(\omega+1)}}$ ;
\spaceout $\omega^\omega$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^2 + \omega + 1}$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^\omega}\cdot 2$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^\omega}$ ;
\spaceout $0$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^2} + \omega^{\omega+1}$ ;
\spaceout $\omega^{(\omega^\omega + 1)}$.

\begin{corrige}
On vérifie que tous ces ordinaux sont écrits en forme normale de
Cantor (et les exposants de $\omega$ aussi, etc.).  On les compare
donc en comparant à chaque fois la plus grande puissance de $\omega$.

Dans l'ordre croissant : \spaceout $0$ ;
\spaceout $42$ ;
\spaceout $\omega$ ;
\spaceout $\omega + 42$ ;
\spaceout $\omega\cdot 2$ ;
\spaceout $\omega\cdot 2 + 1729$ ;
\spaceout $\omega\cdot 3$ ;
\spaceout $\omega\cdot 3 + 42$ ;
\spaceout $\omega^2$ ;
\spaceout $\omega^2 + 1000$ ;
\spaceout $\omega^2 + \omega$ ;
\spaceout $\omega^2 + \omega\cdot 42$ ;
\spaceout $\omega^2\cdot 42$ ;
\spaceout $\omega^2\cdot 42 + 1000$ ;
\spaceout $\omega^2\cdot 42 + \omega$ ;
\spaceout $\omega^\omega$ ;
\spaceout $\omega^{\omega+1}$ ;
\spaceout $\omega^{\omega+1} + 1000$ ;
\spaceout $\omega^{\omega+1} + \omega + 33$ ;
\spaceout $\omega^{\omega+1} + \omega\cdot 33$ ;
\spaceout $\omega^{\omega+1} + \omega^2 + 33$ ;
\spaceout $\omega^{\omega+1} + \omega^2\cdot 33$ ;
\spaceout $\omega^{\omega+1} + \omega^\omega\cdot 33$ ;
\spaceout $\omega^{\omega+1}\cdot 2$ ;
\spaceout $\omega^{\omega+2}$ ;
\spaceout $\omega^{\omega+2} + \omega^\omega$ ;
\spaceout $\omega^{\omega\cdot 2}$ ;
\spaceout $\omega^{\omega\cdot 2} + \omega^{\omega+2}$ ;
\spaceout $\omega^{\omega\cdot 2}\cdot 1000$ ;
\spaceout $\omega^{\omega\cdot 2 + 42}$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^2}$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^2} + \omega^{\omega+1}$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^2 + 1}$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^2 + 1} + \omega^{\omega\cdot 2}\cdot 1000$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^2 + 1} + \omega^{\omega^2}\cdot 42$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^2 + 1}\cdot 2$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^2 + \omega}$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^2 + \omega} + \omega^{\omega^2} + \omega^{\omega+1}$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^2 + \omega} + \omega^{\omega^2 + 1}$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^2 + \omega + 1}$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^2\cdot 2}$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^3}$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^\omega}$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^\omega} + 1$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^\omega}\cdot 2$ ;
\spaceout $\omega^{(\omega^\omega + 1)}$ ;
\spaceout $\omega^{(\omega^\omega\cdot 2)}$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^{(\omega+1)}}$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^{(\omega\cdot 2)}}$ ; et enfin
\spaceout $\omega^{\omega^{(\omega^2)}}$.
\end{corrige}



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%

\exercice

(a) Que vaut $(\omega+1) + (\omega+1)$ ?

(b) Plus généralement, que vaut $(\omega+1) + \cdots + (\omega+1)$
avec $n$ termes $\omega+1$ (où $n$ est un entier naturel $\geq 1$) ?

(c) En déduire ce que vaut $(\omega+1)\cdot n$.

(d) En déduire ce que vaut $(\omega+1)\cdot \omega$.

(e) En déduire ce que vaut $(\omega+1)\cdot(\omega+1)$.

(f) En déduire ce que vaut $(\omega+1)^2$.

\begin{corrige}
(a) On a $(\omega+1) + (\omega+1) = \omega + 1 + \omega + 1 = \omega +
  (1 + \omega) + 1 = \omega + \omega + 1 = \omega\cdot 2 + 1$.

(b) En procédant de même, on voit que dans la somme de $n$ termes
  $\omega + 1$, chaque $1$ est absorbé par le $\omega$ qui
  \emph{suit}, sauf le dernier $1$ qui demeure : la somme vaut
  donc $\omega\cdot n + 1$.

(c) Quel que soit l'ordinal $\alpha$, la somme $\alpha + \cdots +
  \alpha$ avec $n$ termes $\alpha$ vaut $\alpha\cdot n$ (ceci se voit
  soit par une récurrence immédiate sur $n$ avec la définition par
  induction de la multiplication, soit en utilisant la distributivité
  à droite, c'est-à-dire $\alpha\cdot n = \alpha\cdot(1 + \cdots + 1)
  = \alpha + \cdots + \alpha$).  On a donc $(\omega+1)\cdot n =
  \omega\cdot n + 1$.

(d) L'ordinal $(\omega+1)\cdot \omega$ est la limite des $\omega\cdot
  n + 1$ pour $n\to\omega$.  Cette limite vaut $\omega^2$ : en effet,
  $\omega^2 \geq \omega\cdot n + 1$ pour chaque $n<\omega$, mais
  inversement, si $\gamma < \omega^2$, on a $\gamma < \omega\cdot n$
  pour un certain $n$ (par exemple en utilisant le fait que $\omega^2
  = \omega\cdot\omega$ est elle-même la limite des $\omega\cdot n$,
  c'est-à-dire le plus petit ordinal supérieur ou égal à eux), et en
  particulier $\gamma < \omega\cdot n + 1$.

(e) On a $(\omega+1)\cdot (\omega+1) = (\omega+1)\cdot \omega + \omega
  + 1 = \omega^2 + \omega + 1$.

(f) On a toujours $\alpha^2 = \alpha\cdot\alpha$, donc $(\omega+1)^2 =
  \omega^2 + \omega + 1$ comme on vient de le montrer.
\end{corrige}



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\exercice

On dit qu'un ordinal $\alpha$ est \textbf{infini} lorsque
$\alpha\geq\omega$.  Montrer qu'un ordinal est infini si et seulement
si $1+\alpha = \alpha$.

\begin{corrige}
Si $\alpha$ est infini, on a $\alpha \geq \omega$, donc il existe un
unique ordinal $\beta$ tel que $\alpha = \omega + \beta$.  On a alors
$1 + \alpha = 1 + (\omega + \beta) = (1 + \omega) + \beta = \omega +
\beta = \alpha$.

Si, en revanche, $\alpha$ est fini, c'est-à-dire $\alpha < \omega$,
alors $\alpha$ est un entier naturel, et comme l'addition ordinale sur
les entiers naturels coïncide avec l'addition usuelle sur ceux-ci, on
a $1 + \alpha > \alpha$.
\end{corrige}


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\end{document}
