Re-read exam questions.exam-20160421

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@@ -74,9 +74,9 @@
 %
 \begin{document}
 \ifcorrige
-\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissance — Corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}}
+\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}}
 \else
-\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissance\\{\normalsize Courbes algébriques}}
+\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Courbes algébriques}}
 \fi
 \author{}
 \date{21 avril 2016}
@@ -102,8 +102,8 @@ est précisé.  Ils pourront être traités dans un ordre quelconque, mais
 on demande de faire apparaître de façon très visible dans les copies
 où commence chaque exercice.
 
-La longueur de l'énoncé ne doit pas décourager : les questions ont été
-formulées de manière à rappeler le contexte et certaines notions du
+La longueur de l'énoncé ne doit pas décourager : les exercices ont été
+formulés de manière à rappeler le contexte et certaines notions du
 cours, si bien que les réponses attendues sont souvent plus courtes
 que les questions.
 
@@ -124,6 +124,14 @@ Barème indicatif : chaque question a approximativement la même valeur.
 Il ne sera pas nécessaire de tout traiter pour avoir le maximum des
 points.
 
+\medbreak
+
+On rappelle qu'un polynôme $f \in k[t_1,\ldots,t_n]$ est dit
+« homogène de degré $d$ » lorsque le degré total $\sum_{i=1}^n r_i$ de
+chacun des monômes $t_1^{r_1} \cdots t_n^{r_n}$ qui apparaissent
+dans $f$ est égal à $d$.  Le produit de deux polynômes homogènes de
+degrés $d,d'$ est évidemment homogène de degré $d+d'$.
+
 \pagebreak
 
 
@@ -141,8 +149,8 @@ ou $\ord_P$ la valuation), et soit $z$ une uniformizante en $P$
 
 En raisonnant sur la valuation des $x_i$, montrer qu'il n'existe pas
 de solution autre que $(0,\ldots,0)$ à l'équation $x_0^d + z x_1^d +
-z^2 x_2^d + \cdots + z^{d-1} x_{d-1}^d = 0$ (homogène de degré $d$ en
-$d$ inconnues $(x_0,\ldots,x_{d-1})$ dans $K$).
+z^2 x_2^d + \cdots + z^{d-1} x_{d-1}^d = 0$ (algébrique homogène de
+degré $d$ en $d$ inconnues $(x_0,\ldots,x_{d-1})$) dans $K$.
 
 \begin{corrige}
 On remarque que si $x \in K^\times$, alors $v(x^d) = d\,v(x)$ est un
@@ -168,15 +176,13 @@ D'après \ref{remark-on-sums-in-valuation-rings}, la somme ne peut pas
 Soit $k$ un corps \emph{algébriquement clos}.  On considère
 $f_1,\ldots,f_m \in k[t_1,\ldots,t_n]$ des polynômes \emph{homogènes}
 de degrés totaux respectifs $d_1,\ldots,d_m > 0$ en les indéterminées
-$t_1,\ldots,t_n$ (on rappelle qu'un polynôme est dit « homogène » de
-degré $d$ lorsque le degré total $\sum_{i=1}^n r_i$ de chacun de ses
-monômes $t_1^{r_1} \cdots t_n^{r_n}$ est égal à $d$).  Le but de
-l'exercice est de montrer que si $n>m$ alors il existe dans $k^n$ un
-zéro commun non-trivial à $f_1,\ldots,f_m$ (c'est-à-dire une solution
-de $f_1=\cdots=f_m=0$ dans $k^n$, différente de $(0,\ldots,0)$).  On
-suppose donc par l'absurde que l'ensemble $Z(f_1,\ldots,f_m)$ des
-zéros communs à $f_1,\ldots,f_m$ est réduit à $\{(0,\ldots,0)\}$ et on
-va montrer $n \leq m$.
+$t_1,\ldots,t_n$.  Le but de l'exercice est de montrer que si $n>m$
+alors il existe dans $k^n$ un zéro commun non-trivial à
+$f_1,\ldots,f_m$ (c'est-à-dire une solution de $f_1=\cdots=f_m=0$ dans
+$k^n$, différente de $(0,\ldots,0)$).  On suppose donc par l'absurde
+que l'ensemble $Z(f_1,\ldots,f_m)$ des zéros communs à
+$f_1,\ldots,f_m$ est réduit à $\{(0,\ldots,0)\}$ et on va montrer $n
+\leq m$.
 
 (1) Montrer qu'il existe $r \in \mathbb{N}$ tel que tout monôme de
 degré total $\geq r$ en $t_1,\ldots,t_n$ appartienne à l'idéal $I$
@@ -202,8 +208,8 @@ appartient donc à $I$.
 (2) Déduire du (1) que tout monôme $q$ de degré total $\geq r$ en
 $t_1,\ldots,t_n$ s'écrit sous la forme $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m
 f_m$ où $h_1,\ldots,h_m$ sont eux-mêmes homogènes de degré total $\deg
-q - d_j$ (ou bien zéro, notamment lorsque $\deg q < d_j$).  On pourra
-pour cela ne conserver que les monômes de bon degré total.
+q - d_j$ (ou bien nuls, notamment lorsque $\deg q < d_j$).  On pourra
+pour cela ne conserver que les monômes de bon degré total dans $h_j$.
 
 \begin{corrige}
 La conclusion du (1) montre que pour tout monôme $q$ de degré total
@@ -215,7 +221,7 @@ si $\deg q < d_j$), puisque $f_j$ est homogène de degré total $d_j$ et
 que $q$ est également homogène (c'est un monôme !) de degré total
 $\deg q$, on a toujours l'égalité $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m f_m$ (en
 effet, on n'a pas changé les monômes de degré total $\deg q$ dans
-cette égalité).
+cette égalité, et on a retiré tous ceux d'un autre degré).
 \end{corrige}
 
 \smallbreak
@@ -223,26 +229,36 @@ cette égalité).
 Soit $K = k(f_1,\ldots,f_m)$ le sous-corps de $k(t_1,\ldots,t_n)$
 engendré par $f_1,\ldots,f_m$ au-dessus de $k$.
 
-(3) Réinterpréter l'égalité du (2) pour expliquer que tout monôme $q$
-de degré total $\deg q \geq r$ en $t_1,\ldots,t_n$ s'écrit comme
-combinaison $K$-linéaire de monômes en $t_1,\ldots,t_n$ chacun de
-degré total $< \deg q$.  En déduire la même conclusion avec maintenant
-des monômes chacun de degré $< r$.
+(3) Déduire du (2) que tout polynôme $q$ de degré total $s \geq r$ en
+$t_1,\ldots,t_n$ s'écrit comme combinaison $K$-linéaire de monômes en
+$t_1,\ldots,t_n$ chacun de degré total $< s$.  En déduire la même
+conclusion avec maintenant des monômes chacun de degré $< r$.
 
 \begin{corrige}
-En décomposant chaque $h_j$ comme somme de monômes de degré total
-$\deg q - d_j$, l'égalité $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m f_m$ obtenue
-en (2) signifie que (si $q$ est un monôme de degré $\geq r$) le monôme
-$q$ est combinaison linéaire à coefficients dans $K$ des monômes de
-degré total $< \deg q$, i.e., strictement plus petit que lui.
-
-En récrivant de nouveau les monômes qui sont de plus grand degré $\geq
-r$ comme combinaison des monômes de degré strictement plus petit
-qu'eux, et en itérant ce processus (qui termine vu que le plus grand
-degré total d'un monôme qui apparaît dans la combinaison $K$-linéaire
-décroît strictement à chaque étape tant qu'il est au moins égal à
-$r$), on finit par arriver à une combinaison $K$-linéaire de monômes
-chacun de degré total $< r$, soit la conclusion souhaitée.
+Soit $q$ un monôme de degré total $\deg q \geq r$.  En décomposant
+chaque $h_j$ comme somme de monômes de degré total $\deg q - d_j$,
+l'égalité $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m f_m$ obtenue en (2) signifie que
+le monôme $q$ est combinaison linéaire à coefficients dans $K$ des
+monômes de degré total $< \deg q$, i.e., strictement plus petit que
+lui.
+
+Si maintenant $q$ est un polynôme de degré total $s \geq r$, chacun de
+ses monômes est soit déjà de degré $<r$ (donc $<s$, et il n'y a rien à
+faire) soit, d'après ce qu'on vient d'expliquer, combinaison
+$K$-linéaire de monômes de degré total strictement plus petits que lui
+et, en particulier, strictement plus petits que $s$.  En ajoutant
+toutes ces combinaisons, on voit que tout polynôme $q$ de degré total
+$s \geq r$ est combinaison $K$-linéaire de monômes chacun de degré
+total $< s$.
+
+En recommançant, c'est-à-dire en réécrivant de nouveau tous les
+monômes comme combinaisons $K$-linéaires de monômes de degré $< s$ où
+$s$ est le degré total du plus grand monôme qui apparaît, et en
+itérant ce processus (qui termine vu que le plus grand degré total $s$
+d'un monôme qui apparaît dans la combinaison $K$-linéaire décroît
+strictement à chaque étape tant qu'il est au moins égal à $r$), on
+finit par arriver à une combinaison $K$-linéaire de monômes chacun de
+degré total $< r$, soit la conclusion souhaitée.
 \end{corrige}
 
 \smallbreak
@@ -250,7 +266,7 @@ chacun de degré total $< r$, soit la conclusion souhaitée.
 (4) Déduire de (3) que la sous-$K$-algèbre $K[t_1,\ldots,t_n]$ de
 $k(t_1,\ldots,t_n)$ engendrée par les $t_i$ (i.e., l'ensemble des
 combinaisons $K$-linéaires des monômes en $t_1,\ldots,t_n$) est un
-$K$-espace vectoriel de dimension finie.  Conclure que
+$K$-espace vectoriel de dimension \emph{finie}.  Conclure que
 $K[t_1,\ldots,t_n]$ est un corps, qu'il coïncide avec
 $k(t_1,\ldots,t_n)$, donc que ce dernier est un $K$-espace vectoriel
 de dimension finie.
@@ -327,12 +343,12 @@ soient dans $k[z]$ (et non tous nuls).  On va écrire $x_i =
 indéterminés et où $N$ est un entier.  Expliquer pourquoi la condition
 $f(x_1,\ldots,x_n) = 0$ recherchée se traduit sous la forme d'un
 système d'équations algébriques en les $c_{i,j}$, toutes homogènes.
-On ne demande pas forcément d'écrire ce système, mais on précisera au
-moins clairement le nombre d'équations, leur degré, et le nombre de
+On ne demande pas d'écrire ce système, mais on précisera au moins
+clairement le nombre d'équations, leur degré, et le nombre de
 variables ; on pourra appeler $\delta$ le degré de $f$ en la
 variable $z$, et considérer le degré en $z$ et le degré total en les
-$c_{i,j}$ d'un monôme $a_{r_1,\ldots,r_n} x_1^{r_1} \cdots x_n^{r_n}$
-intervenant dans $f(x_1,\ldots,x_n)$.  En utilisant le résultat de
+$c_{i,j}$ d'un terme $a_{r_1,\ldots,r_n} x_1^{r_1} \cdots x_n^{r_n}$
+de $f(x_1,\ldots,x_n)$.  En utilisant le résultat de
 l'exercice \ref{basic-dimension-fact}, montrer que ce système a, en
 effet, une solution en les $c_{i,j}$ si $N$ est assez grand.
 
@@ -411,20 +427,21 @@ Il suffit de chasser les dénominateurs.  Plus précisément, si $f \in
 k(z)[t_1,\ldots,t_n]$, soit $q \in k[z]$ un dénominateur commun à tous
 les coefficients $a_{r_1,\ldots,r_n}$ de $f$ (en les variables
 $t_1,\ldots,t_n$).  Alors $q\,f \in k[z,t_1,\ldots,t_n]$, et comme on
-a vu en (1) que l'équation $q\,f(x_1,\ldots,x_n) = 0$ a une solution,
-il en va de même de l'équation $f(x_1,\ldots,x_n) = 0$ (dans $k(z)$).
+a vu en (1) que l'équation $q\,f(x_1,\ldots,x_n) = 0$ a une solution
+non-triviale, cette solution en est aussi une de
+l'équation $f(x_1,\ldots,x_n) = 0$.
 \end{corrige}
 
 \smallbreak
 
-(3) Dans cette question indépendante des précédentes, on suppose que
+(3) Dans cette question (indépendante des précédentes), on suppose que
 $K_0 \subseteq K$ est une extension de corps de degré $\ell := [K :
   K_0]$ fini.  Soit $e_1,\ldots,e_\ell$ une base de $K$ comme
 $K_0$-espace vectoriel.  Lorsque $w \in K$, on notera $\mathbf{M}(w)$
 la matrice $\ell\times \ell$ à coefficients dans $K_0$ qui représente
 l'application $K \to K, \penalty0\; y\mapsto w\cdot y$ de
-multiplication par $w$ (vue comme une application $K_0$-linéaire sur
-le $K_0$-espace vectoriel $K$ de dimension $\ell$), sur la base
+multiplication par $w$ (vue comme une application $K_0$-linéaire
+du $K_0$-espace vectoriel $K$ de dimension $\ell$), sur la base
 $e_1,\ldots,e_\ell$, et on notera $\norm(w) := \det(\mathbf{M}(w))$
 son déterminant (c'est donc un élément de $K_0$).\spaceout
 (a) Expliquer pourquoi $\mathbf{M}(ww') = \mathbf{M}(w)\,
@@ -466,10 +483,10 @@ $e_1,\ldots,e_\ell$ une base de $K$ comme $K_0$-espace vectoriel.
 Soit $f \in K[t_1,\ldots,t_n]$ (toujours de degré total $0<d<n$ en
 $t_1,\ldots,t_n$).  On va écrire $x_i = \sum_{j=1}^\ell x_{i,j} e_j$
 où les $x_{i,j} \in K_0$ sont des coefficients indéterminés.
-Expliquer pourquoi la condition $\norm(f(x_1,\ldots,x_n)) = 0$
-recherchée se traduit sous la forme d'une équation algébrique homogène
-de degré $d \ell$ en $n \ell$ indéterminées.  En déduire qu'elle a une
-solution non-triviale.
+Expliquer pourquoi la condition $\norm(f(x_1,\ldots,x_n)) = 0$ se
+traduit sous la forme d'une équation algébrique homogène de degré $d
+\ell$ en $n \ell$ indéterminées.  En déduire qu'elle a une solution
+non-triviale.  Conclure.
 
 \begin{corrige}
 Disons qu'on ait
@@ -490,18 +507,20 @@ $\mathbf{M}(x_i)$ sont des combinaisons $K_0$-linéaires des $x_{i,j}$
 homogènes de degré total $r_1+\cdots+r_n$ en les $x_{i,j}$ (en
 utilisant le fait que le produit de matrices est bilinéaire).
 Concernant $\mathbf{M}(a_{r_1,\ldots,r_n} x_1^{r_1} \cdots
-x_n^{r_n})$, si $r_1+\cdots+r_n=d$, on en déduit qu'il est de degré
-homogène de degré total $d$ en les $x_{i,j}$.  Il en va donc de même
-de la somme $\mathbf{M}(f(x_1,\ldots,x_n))$ des $a_{r_1,\ldots,r_n}
-x_1^{r_1} \cdots x_n^{r_n}$.  Par l'homogénéité du déterminant,
+x_n^{r_n})$, si $r_1+\cdots+r_n=d$, on en déduit qu'il est homogène de
+degré total $d$ en les $x_{i,j}$.  Il en va donc de même de la somme
+$\mathbf{M}(f(x_1,\ldots,x_n))$ des $a_{r_1,\ldots,r_n} x_1^{r_1}
+\cdots x_n^{r_n}$.  Par l'homogénéité du déterminant,
 $\norm(f(x_1,\ldots,x_n))$ est un polynome homogène de degré total $d
 \ell$ en les indéterminées $x_{i,j}$ qui sont au nombre de $n \ell$.
 
-Or d'après la question (3)(a), l'annulation de ce déterminant équivaut
-à l'annulation de tous les $x_i$ (i.e., de tous les $x_{i,j}$).  Et
-d'après la question (2), si $d \ell < n \ell$, ce qui équivaut à $d < n$, il
-y a bien une solution non triviale à cette équation algébrique de
-degré $d \ell$ en $n \ell$ indéterminées dans $K_0 = k(z)$.
+D'après la question (2), si $d \ell < n \ell$, ce qui équivaut à $d <
+n$, il y a bien une solution non triviale à cette équation algébrique
+de degré $d \ell$ en $n \ell$ indéterminées dans $K_0 = k(z)$.  Or
+d'après la question (3)(a), l'annulation de ce déterminant
+$\norm(f(x_1,\ldots,x_n))$ équivaut à l'annulation de tous les $x_i$
+(i.e., de tous les $x_{i,j}$).  On a donc bien montré que
+$f(x_1,\ldots,x_n) = 0$ a une solution non-triviale dans $K$.
 \end{corrige}
 
 \smallbreak
@@ -539,7 +558,7 @@ non-trivial dans $K^n$.
 (Ce résultat s'appelle le théorème de Tsen.  On pourra remarquer que
 l'exercice \ref{equation-with-no-solutions} montre que l'inégalité est
 optimale sur n'importe quel corps, puisqu'on y a trouvé un polynôme
-homogène de degré $d$ en $n=d$ varaibles sans zéro non-trivial.)
+homogène de degré $d$ en $n=d$ variables sans zéro non-trivial.)
 \end{corrige}
 
 
@@ -549,11 +568,10 @@ homogène de degré $d$ en $n=d$ varaibles sans zéro non-trivial.)
 
 \exercice
 
-Soit $k$ un corps parfait de caractéristique $\neq 2,3,5$.  On
-considère la courbe $C$ plane sur $k$ d'équation $y^2 = x^5 - 1$.  On
-admettra sans vérification que le polynôme $h := y^2 - x^5 + 1 \in
-k[x,y]$ est géométriquement irréductible, et on posera $K := k(C) =
-k(x)[y]/(h)$.
+Soit $k$ un corps parfait de caractéristique $\neq 2,5$.  On considère
+la courbe $C$ plane sur $k$ d'équation $y^2 = x^5 - 1$.  On admettra
+sans vérification que le polynôme $h := y^2 - x^5 + 1 \in k[x,y]$ est
+géométriquement irréductible, et on posera $K := k(C) = k(x)[y]/(h)$.
 
 (1) Si $w$ est une valuation de $K$ au-dessus de $k$, montrer qu'on a
 $w(x)<0$ si et seulement si $w(y)<0$.  Exprimer le rapport entre
@@ -607,7 +625,8 @@ y)$ est complètement déterminé par la donnée de $e$, à savoir $e\,
 \min(v_\infty(f_0), v_\infty(f_1) - \frac{5}{2})$.  Mais puisque
 l'image de $w$ doit être $\mathbb{Z} \cup \{\infty\}$ (condition de
 normalisation), on a forcément $e = 2$, c'est-à-dire $w(x) = -2$ et
-$w(y) = -5$.
+$w(y) = -5$, et en général $w(f_0 + f_1 y) = \min(2 v_\infty(f_0), 2
+v_\infty(f_1) - 5)$.
 
 Il existe forcément une telle valuation, car $x$ n'est pas constant
 (il est transcendant sur $k$), donc il a un pôle, ce qui signifie
@@ -618,15 +637,15 @@ exactement qu'il existe une place $w$ comme on vient de le décrire.
 
 (4) On note $M$ la place de $C$ qui a été trouvée (c'est-à-dire que $w
 = \ord_M$ est l'unique valuation de $K$ au-dessus de $k$ pour laquelle
-$w(x) < 0$).  Montrer que pour tout $r \in \mathbb{N}$ les fonctions
-$1,x,x^2,\ldots,x^r,\penalty0 y,xy,\ldots,x^{r-3}y$ sont dans l'espace de
-Riemann-Roch $\mathscr{L}(2r(M))$ et sont linéairement indépendants
+$w(x) < 0$).  Montrer que pour tout $r \geq 3$ entier, les fonctions
+$1,x,x^2,\ldots,x^r,\penalty0 y,xy,\ldots,x^{r-3}y$ sont dans l'espace
+de Riemann-Roch $\mathscr{L}(2r(M))$ et sont linéairement indépendants
 sur $k$.  En déduire un minorant de $\ell(2r(M))$.  En prenant $r$
 grand, en déduire un majorant sur le genre $g$ de $C$.
 
 \begin{corrige}
 On vient de voir que $\ord_M(x) = -2$ et $\ord_M(y) = -5$.  Par
-conséquent, $\ord_M(x^i) = -2i$ et $\ord_M(x^i y) = -5-2i$.  Ces
+conséquent, $\ord_M(x^i) = -2i$ et $\ord_M(x^i y) = -2i-5$.  Ces
 quantités sont $\geq -2r$ lorsque respectivement $i\leq r$ et $i\leq
 r-\frac{5}{2}$ (c'est-à-dire en fait $i \leq r-3$ puisque $i,r$ sont
 entiers).  On a bien montré que $1,x,x^2,\ldots,x^r,\penalty0
@@ -640,7 +659,7 @@ $\ell(2r(M)) \geq 2r-1$.
 
 Or on sait par \ref{degree-of-canonical-divisor}(B) que si $r$ est
 assez grand (à savoir $2r > 2g - 2$ mais peu importe), on a
-$\ell(2r(M)) = 2r + 1 - g$.  On en déduit $1 - g \geq -1$,
+$\ell(2r(M)) = 2r + 1 - g$.  On en déduit $2r + 1 - g \geq 2r-1$,
 c'est-à-dire $g \leq 2$.
 \end{corrige}