Valuations, discrete valuations.

1 files changed, 49 insertions, 1 deletions

diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex
index 22c0e30..c034ed2 100644
--- a/notes-accq205.tex
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -3467,7 +3467,55 @@ peuvent pas être représentées comme des courbes planes
 non-singulières).
 
 
-% \subsection{Places}\label{subsection-places-of-function-fields}
+\subsection{Places}\label{subsection-places-of-function-fields}
+
+\begin{defn}
+Soit $k \subseteq K$ une extension de corps.  On appelle
+\index{valuation (anneau de)}\defin{anneau de valuation} de $K$
+au-dessus de $k$ un sous-anneau $R$ de $K$ contenant $k$ et vérifiant
+la propriété suivante :
+\begin{center}
+pour tout $x \in K$, on a soit $x \in R$ soit $x^{-1} \in R$.
+\end{center}
+Lorsque de plus $R \neq K$, on dit qu'il s'agit d'un anneau de
+valuation \emph{non-trivial}.
+\end{defn}
+
+\thingy Dans les conditions ci-dessus, $R$ est un anneau intègre
+(puisque c'est un sous-anneau d'un corps), et il est clair que $K$ est
+l'anneau des fractions de $R$ (tout élément de $K$ est quotient
+d'éléments de $R$ puisqu'il est même toujours de la forme $x$ ou
+$\frac{1}{x}$ !).
+
+On dira qu'un élément $x$ de $K$ a une \emph{valuation plus grande}
+(pour $R$) qu'un élément $y$ lorsque $x = yz$ avec $z \in R$ ; on
+dira, bien sûr, qu'ils ont la \emph{même valuation} lorsque $x = yz$
+avec $z \in R^\times$ (lire : $z$ inversible dans $R$), ce qui
+signifie bien sûr exactement que $x$ a une valuation plus grande
+que $y$ et réciproquement.  Il s'agit là d'une relation d'équivalence
+sur $K$ : les classes d'équivalences des éléments non nuls s'appellent
+les \emph{valuations} : on notera $v_R(x)$ ou simplement $v(x)$ pour
+la valuation de $x$ ; la classe de $0$ sera mise à part et
+notée $\infty$ (on écrira $v(0) = \infty$ mais on ne considère
+généralement pas qu'il s'agisse d'une valuation).  La définition d'un
+anneau de valuation fait qu'on a défini une relation d'ordre
+\emph{total} sur l'ensemble des valuations (plus $\infty$ qui est le
+plus grand élément).
+
+On définit $v(x)+v(y)$ comme $v(xy)$ et on note $0$ pour $v(1)$ :
+cette définition a bien un sens comme on le vérifie facilement, et
+fait de l'ensemble des valuations (non compté le symbole
+spécial $\infty$) un \emph{groupe}, appelé \textbf{groupe des
+  valuations} de $R$ (ou de $K$ pour $R$), qui n'est autre que le
+groupe quotient $K^\times/R^\times$.  Avec l'ordre qu'on a mis
+ci-dessus, il s'agit d'un \emph{groupe ordonné}, c'est-à-dire que si
+$u \geq v$ alors $u+w \geq v+w$ quel que soit $w$.
+
+Lorsque le groupe des valuations est $\mathbb{Z}$, c'est-à-dire qu'il
+est engendré par un unique élément (on peut alors choisir un
+générateur strictement positif, qui est forcément le plus petit
+élément strictement positif, et qu'on peut noter $1$), on dira que $R$
+est un anneau de valuation \defin[discrète (valuation)]{discrète}.