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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-03-05 19:36:39 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-03-05 19:36:39 (GMT)
commit251e2cddfb6a6ff3d8d945b29e353da97c25c427 (patch)
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-rw-r--r--notes-accq205.tex19
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index 53aa72c..efcaf49 100644
--- a/notes-accq205.tex
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -2100,7 +2100,8 @@ $I$ de $A$ est de type fini.
Remarquons qu'un \emph{quotient} d'un anneau noethérien est
noethérien. En effet, les idéaux de $A/J$ sont de la forme $I/J$ avec
$I$ un idéal de $A$ contenant $J$, et si $I$ est de type fini alors
-$I/J$ l'est aussi.
+$I/J$ l'est aussi (il est engendré par les classes modulo $J$ des
+éléments qui engendrent $I$).
\begin{prop}[théorème de la base de Hilbert]
Si $A$ est un anneau noethérien, alors l'anneau $A[t]$ des polynômes à
@@ -2411,8 +2412,8 @@ qu'on pouvait supposer qu'il s'agit d'un idéal radical.
Le vide est un fermé de Zariski ($Z(1) = \varnothing$) ; l'ensemble
$(k^{\alg})^d$ tout entier est un fermé de Zariski ($Z(0) =
(k^{\alg})^d$). Le singleton de tout $x \in k^d$ (à coordonnées
-dans $k$, donc) est un fermé de Zariski défini sur $k$ : en effet,
-$Z(\mathfrak{m}_x) = \{x\}$, où $\mathfrak{m}_x$ est l'idéal
+\underline{dans $k$}, donc) est un fermé de Zariski défini sur $k$ :
+en effet, $Z(\mathfrak{m}_x) = \{x\}$, où $\mathfrak{m}_x$ est l'idéal
$(t_1-x_1,\ldots,t_d-x_d)$ (cf. \ref{maximal-ideals-of-points}) où $x
= (x_1,\ldots,x_d)$, autrement dit le noyau de la fonction $f \mapsto
f(x)$ d'évaluation en $x$.
@@ -2558,6 +2559,18 @@ les ensembles qu'on a dit, et on a observé qu'elles sont
décroissantes.
\end{proof}
+\thingy On aurait pu être tenté de définir $Z(\mathscr{F})$ comme
+l'ensemble des zéros dans $k^d$, plutôt que $(k^{\alg})^d$, des
+éléments de $\mathscr{F}$ : le problème avec ce point de vue est qu'on
+peut avoir $Z(I) \cap k^d = \varnothing$ alors que $I$ n'est pas
+l'idéal unité : penser au cas de l'idéal engendré par $t^2 + 1$ dans
+$\mathbb{R}[t]$ (qui n'est pas l'idéal unité puisque $t^2 + 1$ n'est
+pas inversible, et qui n'a pourtant pas de zéro dans $\mathbb{R}$).
+Avec le point de vue choisi ici, on a $Z(t^2+1) = \{\pm i\} \subseteq
+\mathbb{C}$. On remarquera bien que $\{+i\}$ seul n'est pas un fermé
+de Zariski défini sur $\mathbb{R}$ (c'est, en revanche, un fermé de
+Zariski défini sur $\mathbb{C}$).
+