Field of constants, and more about linear disjointness.

Note renumbering in §1.4 (on linear disjointness).

1 files changed, 151 insertions, 25 deletions

diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex
index eb62a8c..f36fffe 100644
--- a/notes-accq205.tex
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -664,8 +664,24 @@ quand on la voit comme une famille d'éléments de $M$.  (Il suffit,
 bien sûr, de le tester pour des familles \emph{finies}.)
 \end{defn}
 
-La définition de cette relation n'est pas symétrique.  Elle l'est
-cependant :
+\thingy Remarquons que $K \cup L = k$ dans ces conditions (car si
+$c\in K$ n'est pas dans $k$, il est linéairement indépendant avec $1$
+sur $k$, donc il le reste sur $L$, et ne peut pas appartenir à $L$).
+
+La condition d'être linéairement disjointes est cependant plus forte :
+par exemple, $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ et $\mathbb{Q}(\zeta
+\sqrt[3]{2})$, où $\zeta$ est une racine primitive cubique de l'unité
+(disons $\exp(2i\pi/3)$ dans les complexes) ont pour intersection
+$\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{Q}(\zeta, \sqrt[3]{2})$ (ou dans les
+complexes), et pourtant elles ne sont pas linéairement disjointes
+(vérifier que $1, \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4}$ sont linéairement
+indépendants sur $\mathbb{Q}$ mais que $(\zeta \sqrt[3]{2})^2 \times 1
++ (\zeta \sqrt[3]{2}) \times \sqrt[3]{2} + 1 \times \sqrt[3]{4} = 0$).
+
+\medbreak
+
+La définition de la relation d'être linéairement disjointes n'est pas
+symétrique.  Elle l'est cependant :
 \begin{prop}
 La propriété pour deux extensions contenues dans une même troisième
 d'être linéairement disjointes est symétrique.
@@ -2872,25 +2888,44 @@ $W^{I_1\times I_2}$ une fois choisies des bases $(e_i)_{i\in I_1}$ et
 $(f_j)_{j\in I_2}$ de $V_1$ et $V_2$).  La même chose vaut encore avec
 trois espaces vectoriels ou plus.
 
-\thingy Signalons au passage, sans plus développer, que l'extension
-des scalaires qu'on a définie ci-dessus fait partie d'une construction
-plus générale appelée \index{tensoriel (produit)}\defin{produit tensoriel}.  Le produit
-tensoriel de deux espaces vectoriels $V$ et $W$ sur un corps $k$ est
-l'espace vectoriel $V\otimes_k W$ dont une base est le produit d'une
-base de $V$ et d'une base de $W$ (dans le cas qu'on a considéré, une
-base de $V \otimes_k k'$ est bien donnée par les $b_j e_i$ avec
-$(b_j)$ une base de $k'$ comme $k$-espace vectoriel) ; on a une
-application bilinéaire $\beta\colon V \times W \to V\otimes_k W$ qui
-envoie un couple d'éléments des deux bases sur l'élément de la base
-d'arrivée défini par ce même couple (dans le cas qu'on a considéré,
-$\beta(x,c) = c\iota(x)$).  Cette application bilinéaire possède la
-propriété « universelle » que toute application $k$-bilinéaire
-$V\times W \to E$ se factorise de façon unique en la composée de
-$\beta$ et d'une application $k$-linéaire $V\otimes_k W \to E$ :
-autrement dit, une application $k$-bilinéaire $V\times W \to E$ et une
-application $k$-linéaire $V\otimes_k W \to E$ sont essentiellement
-« la même chose ».  Cette même propriété permet de définir de façon
-plus générale le produit tensoriel de deux modules quelconques sur un
+\thingy On a défini $V\otimes_k k'$ comme le $k'$-espace vectoriel
+dont une base (sur $k'$, donc) est donnée par une base $(e_i)_{i\in
+  I}$ de $V$ (sur $k$).  Il n'est bien entendu pas interdit de
+considérer $V\otimes_k k'$ comme un espace vectoriel
+\underline{sur $k$} : dans ce cas, une base en est donnée par les
+$(e_i \otimes b_j)_{(i,j) \in I\times J}$ avec $(b_j)_{j\in J}$ une
+base de $k'$ comme $k$-espace vectoriel (on s'en convainc en écrivant
+un élément quelconque comme combinaison $k'$-linéaire de la
+base $(e_i)_{i\in I}$ et en écrivant ensuite les coefficients
+eux-mêmes comme combinaisons $k$-linéaires des $b_j$ ; de façon plus
+générale, si $E$ est un $k'$-espace vectoriel et toujours $(b_j)_{j\in
+  J}$ une base de $k'$ comme $k$-espace vectoriel, alors une base de
+$E$ comme $k$-espace vectoriel est donnée par les $(b_j e_i)_{(i,j)\in
+  I\times J}$).
+
+Soulignons au passage qu'\emph{il n'est pas vrai que tous les éléments
+  de $V \otimes_k k'$ soient de la forme $x\otimes c$} pour $x\in V$
+et $c\in k'$ : il est seulement vrai que ces éléments
+\emph{engendrent} $V\otimes_k k'$ comme $k$-espace vectoriel.
+
+Signalons de plus, sans plus développer, que l'extension des scalaires
+qu'on a définie ci-dessus fait partie d'une construction plus générale
+appelée \index{tensoriel (produit)}\defin{produit tensoriel}.  Le
+produit tensoriel de deux espaces vectoriels $V$ et $W$ sur un
+corps $k$ est l'espace vectoriel $V\otimes_k W$ dont une base est le
+produit d'une base de $V$ et d'une base de $W$ (on vient d'expliquer
+pourquoi on est dans ce cas) ; on a une application bilinéaire
+$\beta\colon V \times W \to V\otimes_k W$ qui envoie un couple
+d'éléments des deux bases sur l'élément de la base d'arrivée défini
+par ce même couple (dans le cas qu'on a considéré, $\beta(x,c) =
+c\iota(x)$).  Cette application bilinéaire possède la propriété
+« universelle » que toute application $k$-bilinéaire $V\times W \to E$
+se factorise de façon unique en la composée de $\beta$ et d'une
+application $k$-linéaire $V\otimes_k W \to E$ : autrement dit, une
+application $k$-bilinéaire $V\times W \to E$ et une application
+$k$-linéaire $V\otimes_k W \to E$ sont essentiellement « la même
+  chose ».  Cette même propriété permet de définir de façon plus
+générale le produit tensoriel de deux modules quelconques sur un
 anneau quelconque, mais nous ne le ferons pas.
 
 \begin{prop}[« exactitude » de l'extension des scalaires sur un corps]\label{exactness-of-tensor-product-over-a-field}
@@ -2982,7 +3017,10 @@ c'est-à-dire les $h_i$).
 À titre d'exemple, $\mathbb{C} = \mathbb{R}[t]/(t^2+1)$ donc
 $\mathbb{C}\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C} = \mathbb{C}[t]/(t^2+1) =
 \mathbb{C}[t]/((t+\sqrt{-1})(t-\sqrt{-1})) \cong
-\mathbb{C}\times\mathbb{C}$.
+\mathbb{C}\times\mathbb{C}$ (cet exemple montre qu'étendre les
+scalaires d'un corps ne donne pas forcément un corps, ni même un
+anneau intègre — on va justement réexpliquer ce phénomène au
+paragraphe suivant).
 
 \thingy\label{reinterpretation-of-linear-disjointness} La définition
 de l'extension des scalaires permet de reconsidérer la notion
@@ -3017,7 +3055,56 @@ $k'$ est vraiment pertinente dans le cas des fractions rationnelles,
 signalons que $k(x) \otimes_k k(y)$, si $x,y$ sont deux indéterminées,
 est le sous-anneau de $k(x,y)$ formé des fractions rationnelles qui
 admettent un dénominateur produit d'un polynôme en $x$ et d'un
-polynôme en $y$.)
+polynôme en $y$.)  Voici une généralisation de ce fait :
+
+\begin{prop}\label{field-of-fractions-versus-change-of-scalars}
+Soit $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre, et soit $k'$ une extension
+algébrique de $k$.  Supposons que $A \otimes_k k'$ soit \emph{intègre}
+(en particulier, $A$ lui-même est intègre).  Alors son corps des
+fractions $\Frac(A \otimes_k k')$ s'identifie avec $\Frac(A) \otimes_k
+k'$.  De plus, dans ces conditions, $\Frac(A)$ et $k'$ sont
+linéairement disjointes comme extensions de $k$ contenues dans
+$\Frac(A \otimes_k k')$, et ce dernier est leur composé.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+Le fait que $A$ soit intègre si $A \otimes_k k'$ l'est résulte du fait
+que si $aa' = 0$ dans $A$ alors $(a\otimes 1)(a'\otimes 1) =
+(aa')\otimes 1 = 0$, or $a\otimes 1$ n'est nul que pour $a=0$.
+
+Soit maintenant $K' := \Frac(A \otimes_k k')$.  D'après
+\ref{exactness-of-tensor-product-over-a-field}(c), on peut voir $A
+\otimes_k k'$ comme une sous-$k'$-algèbre de $K'$ (à savoir le
+$k'$-espace vectoriel engendré par les $a\otimes 1$ pour $a\in A$).
+Notamment, on peut voir $A$ (identifié à l'ensemble des $a\otimes 1$)
+comme une sous-$k$-algèbre de $K'$, et $k'$ (identifié à l'ensemble
+des $1\otimes u$ pour $u\in k'$) comme un sous-corps de $K'$, contenu
+dans $A\otimes_k k'$.  Puisque $A$ est contenu dans le corps $K'$, il
+en va de même de son corps des fractions $K := \Frac(A)$.  On veut
+montrer que $K \otimes_k k' = K'$ : pour cela, d'après ce qui a été
+dit ci-dessus (et comme $k'$ est algébrique sur $k$), il s'agit de
+prouver que $K$ et $k'$ sont linéairement disjointes comme extensions
+de $k$ contenues dans $K'$ et que leur composée est $K'$.
+
+Le fait que l'extension composée soit $K'$ est clair car $K'$ est
+engendré en tant que corps par $A$ et $k'$, donc \textit{a fortiori}
+par $K$ et $k'$.  Il reste à voir que $K$ et $k'$ sont linéairement
+disjointes, autrement dit, que si les $u_j$ sont des éléments de $k'$
+linéairement indépendants sur $k$ et les $c_j$ des éléments de $K$
+tels que $\sum_j c_j u_j = 0$ dans $K'$, alors en fait les $c_j$ sont
+nuls.
+
+Mais on peut écrire $c_j = a_j/q$ où $a_j \in A$ et $q \in A$ est non
+nul fixé.  On a donc $\sum_j a_j u_j = 0$ dans $K'$, et en fait
+l'élément $a_j u_j$ de $K'$ s'identifie à l'élément $a_j \otimes u_j$
+de $A \otimes_k k'$ comme on vient de l'expliquer.  Mais vu que les
+$u_j$ sont linéairement indépendants sur $k$, cet élément ne peut être
+nul que si tous les $a_j$ sont nuls (quitte, par exemple, à prendre
+une base de $A$ sur $k$ et à compléter les $u_j$ en une base de $k'$
+sur $k$).
+
+(Le fait que $A\otimes_k k'$ soit intègre a servi, dans cette
+démonstration, à tout situer dans le corps $K'$.)
+\end{proof}
 
 
 %
@@ -3104,7 +3191,8 @@ fonction $f$ considérée, et on verra à partir
 de \ref{valuation-ring-versus-valuation-function} en quoi ce genre de
 fonction est important.
 
-\thingy Si $P \in k[x,y]$ est un polynôme irréductible en deux
+\thingy\label{function-field-of-a-plane-curve}
+Si $P \in k[x,y]$ est un polynôme irréductible en deux
 indéterminées $x,y$ et faisant effectivement intervenir $y$, on peut
 le voir comme un élément de $k(x)[y]$, qui est encore irréductible
 (cf. \ref{gauss-lemma-on-irreducibility}), ce qui définit donc un
@@ -3432,7 +3520,8 @@ est irréductible (cf. \ref{closed-irreducible-iff-prime-ideal}) mais
 qui cesse de l'être sur la clôture algébrique
 (cf. \ref{geometric-irreducibility}).
 
-\thingy Bien sûr, il n'y a pas de raison de se limiter aux courbes
+\thingy\label{function-field-of-an-irreducible-set}
+Bien sûr, il n'y a pas de raison de se limiter aux courbes
 \emph{planes} ou même, dans une certaine mesure, de se limiter aux
 courbes du tout : si $I \subseteq k[t_1,\ldots,t_d]$ est un idéal
 premier quelconque, alors $X := Z(I)$ est un fermé de Zariski
@@ -3992,6 +4081,43 @@ $f \in K$ tel que $v(f) = 1$ (c'est-à-dire, avec la terminologie qu'on
 vient d'introduire, une fonction qui a un zéro d'ordre exactement $1$
 en $v$).  On parle aussi de \defin{paramètre local} pour $K$ en $v$.
 
+\thingy D'après la
+proposition \ref{valuation-rings-and-integral-closure}, la fermeture
+algébrique $\tilde k$ de $k$ dans $K$ coïncide avec l'ensemble des
+fonctions $f\in K$ telles que $v(f) \geq 0$ pour toute place $v \in
+\mathscr{V}_K$, autrement dit, les fonctions qui n'ont pas de pôle ;
+il s'agit également de l'ensemble des fonctions qui n'ont pas de zéro.
+Ces fonctions seront dites \defin[constante (fonction)]{constantes}.
+Pour dire les choses autrement, les conditions conditions suivantes
+sur $f \in K$ sont équivalentes :
+\begin{itemize}
+\item $f$ est transcendant sur $k$,
+\item il existe au moins une place $v$ de $K$ où $f$ ait un pôle,
+\item il existe au moins une place $v$ de $K$ où $f$ ait un zéro,
+\item $f$ n'est pas constante,
+\end{itemize}
+(la dernière étant la définition du mot « constant » dans ce
+contexte).  Le corps $\tilde k$ peut s'appeler \textbf{corps des
+  constantes} de $K$ (sur $k$).
+
+En général, $\tilde k$ peut être strictement plus grand que $k$ : un
+exemple de ce phénomène a été donné
+en \ref{example-curve-irreducible-but-not-geometrically} (où $\tilde k
+= k[\sqrt{-1}]$, par exemple $k=\mathbb{R}$ et $\tilde k=\mathbb{C}$).
+On sera souvent amené à faire l'hypothèse que $\tilde k = k$,
+c'est-à-dire que $k$ est \emph{algébriquement fermé}
+(cf. \ref{relative-algebraic-closure}) dans $K$ ; ceci se produit
+notamment lorsque $K = k(C)$ est défini (au sens
+de \ref{function-field-of-a-plane-curve} ou plus généralement
+de \ref{function-field-of-an-irreducible-set}) par un polynôme $P \in
+k[x,y]$ ou un fermé de Zariski $Z(I)$ \emph{géométriquement}
+irréductible (cf. \ref{geometric-irreducibility}) : en effet, si c'est
+le cas, disons $K = \Frac(k[t_1,\ldots,t_d]/I)$, d'après la
+proposition \ref{field-of-fractions-versus-change-of-scalars}, dans le
+corps $K.k^{\alg} = \Frac(k^{\alg}[t_1,\ldots,t_d]/(I.k^{\alg}))$, les
+sous-corps $K$ et $k^{\alg}$ sont linéairement disjoints sur $k$ et en
+particulier, leur intersection $\tilde k$ est égale à $k$.
+