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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-09 22:40:24 (GMT)
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@@ -4836,11 +4836,11 @@ est le maximum du degré du numérateur et du dénominateur.
Soit $K = k(C)$ un corps de fonction de courbe sur $k$. Un
\defin{diviseur} sur la courbe $C$ est une combinaison linéaire
formelle à coefficients entiers de $k$-places de $K$ : autrement dit,
-le groupe $\Divis(C)$ est défini comme le groupe abélien libre
-$\bigoplus_{P\in\mathscr{V}_{K/k}} \mathbb{Z}$ de base l'ensemble
-$\mathscr{V}_{K/k}$ des places de $C$. On notera $\sum_P n_P (P)$ une
-telle combinaison (où $P$ parcourt les places de $C$ et les $n_P$ sont
-des entiers relatifs tous nuls sauf un nombre fini).
+le groupe $\Divis(C)$ des diviseurs est défini comme le groupe abélien
+libre $\bigoplus_{P\in\mathscr{V}_{K/k}} \mathbb{Z}$ de base
+l'ensemble $\mathscr{V}_{K/k}$ des places de $C$. On notera $\sum_P
+n_P (P)$ une telle combinaison (où $P$ parcourt les places de $C$ et
+les $n_P$ sont des entiers relatifs tous nuls sauf un nombre fini).
Le \defin[degré (d'un diviseur)]{degré} d'un diviseur $D = \sum_P n_P
\cdot (P)$ est défini comme $\deg(D) := \sum_P n_P \deg(P)$ où
@@ -4874,7 +4874,7 @@ correspondant\footnote{Formellement, avec la présentation utilisée
courbe (voire, un « point fermé »), et $\ord_P$ la « valuation en la
place $P$ » ou « valuation correspondant à la
place $P$ ».\label{footnote-place-versus-valuation}} à la
-place $P$.
+place $P$ (i.e., l'ordre [du zéro] en $P$ de $f$).
\end{defn}
\thingy Le théorème \ref{degree-identity} affirme que le degré du
@@ -4886,27 +4886,30 @@ diviseur des pôles, est donc nul : $\divis(f) \in \Divis(C)^0$.
Il faut souligner que $\divis(fg) = \divis(f) + \divis(g)$ d'après la
propriété \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(i) des
-valuations.
+valuations : $\divis$ définit donc un morphisme $K^\times \to
+\Divis(C)$ (dont le noyau est le groupe $\tilde k^\times$ des
+constantes non nulles).
Si $D = \sum_P n_P\cdot (P)$ est un diviseur, certains appellent
-valuation de $D$ en $P$ l'entier $n_P$ (ce qui fait donc que la
-valuation de $\divis(f)$ en $P$ est par définition exactement la
-valuation $\ord_P(f)$ de $f$ en $P$). On évitera cette terminologie.
+« valuation » ou « ordre » ou « multiplicité » de $D$ en $P$ l'entier
+$n_P$ (ce qui fait donc que la valuation de $\divis(f)$ en $P$ est par
+définition exactement la valuation $\ord_P(f)$ de $f$ en $P$). On
+évitera d'abuser de cette terminologie.
\begin{defn}\label{definition-linear-equivalence-and-picard-group}
Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, on appelle
-\defin[principal (diviseur)]{diviseur} un diviseur sur $C$ (de degré
-zéro) de la forme $\divis(f) := \sum_P \ord_P(f)\cdot (P)$ pour
-une certaine fonction $f \in k(C)$ non nulle. Les diviseurs
-principaux forment un sous-groupe du groupe des diviseurs, et même des
-diviseurs de degré zéro : on dit que deux divieurs $D$ et $D'$ sont
-\defin[linéairement équivalents (diviseurs)]{linéairement
- équivalents}, et on note $D \sim D'$, lorsque leur différence $D'-D$
-est un diviseur principal. Le groupe des diviseurs (resp. diviseurs
-de degré $0$) modulo les diviseurs principaux (=modulo équivalence
-linéaire) s'appelle \defin[Picard (groupe de)]{groupe de Picard}
-(resp. groupe de Picard de degré zéro) de la courbe $C$, et est
-noté $\Pic(C)$ (resp. $\Pic^0(C)$).
+\defin[principal (diviseur)]{diviseur principal} un diviseur sur $C$
+(forcément de degré zéro, comme on l'a vu) de la forme $\divis(f) :=
+\sum_P \ord_P(f)\cdot (P)$ pour une certaine fonction $f \in k(C)$ non
+nulle. Les diviseurs principaux forment un sous-groupe du groupe des
+diviseurs, et même des diviseurs de degré zéro : on dit que deux
+divieurs $D$ et $D'$ sont \defin[linéairement équivalents
+ (diviseurs)]{linéairement équivalents}, et on note $D \sim D'$,
+lorsque leur différence $D'-D$ est un diviseur principal. Le groupe
+des diviseurs (resp. diviseurs de degré $0$) modulo les diviseurs
+principaux (=modulo équivalence linéaire) s'appelle \defin[Picard
+ (groupe de)]{groupe de Picard} (resp. groupe de Picard de degré
+zéro) de la courbe $C$, et est noté $\Pic(C)$ (resp. $\Pic^0(C)$).
\end{defn}
\thingy À titre d'exemple, calculons le groupe de Picard de la droite
@@ -4943,10 +4946,10 @@ par le degré) et $\Pic^0(\mathbb{P}^1_k) = 0$.
\begin{defn}
Soit $K = k(C)$ un corps de fonction de courbe sur $k$, et soit $D =
-\sum_P n_P \cdot (P)$ un divisuer sur $C$ (c'est-à-dire une
-combinaison linéaire formelle, à coefficients entiers, de places
-de $C$). On appelle \defin[Riemann-Roch (espace de)]{espace de
- Riemann-Roch} associé au diviseur $D$ le $k$-espace vectoriel
+\sum_P n_P \cdot (P)$ un divisuer sur $C$ (c'est-à-dire la donnée d'un
+entier $n_P$ pour chaque place de $P$, tous nuls sauf un nombre fini).
+On appelle \defin[Riemann-Roch (espace de)]{espace de Riemann-Roch}
+associé au diviseur $D$ le $k$-espace vectoriel
\[
\begin{aligned}
\mathscr{L}(D) &:= \{f \in K : (\forall P)\, \ord_P(f) \geq -n_P\}\\
@@ -4959,10 +4962,10 @@ où $n_P$ est strictement négatif ; et pas de pôle si $n_P$ est nul).
Ici, $\ord_P(f)$ désigne la valuation de $f$
correspondant\footnote{Voir note \ref{footnote-place-versus-valuation}
page \pageref{footnote-place-versus-valuation}.} à la place $P$,
-c'est-à-dire le coefficient de $(P)$ dans $\divis(f)$.
+c'est-à-dire le coefficient de $P$ dans $\divis(f)$.
On note $\ell(D)$ la dimension de $\mathscr{L}(D)$ comme $k$-espace
-vectoriel (on va voir qu'elle est toujours finie).
+vectoriel (on va rappeler qu'elle est toujours finie).
\end{defn}
\begin{prop}
@@ -5018,17 +5021,17 @@ En notant $D$ et $D'$ des diviseurs sur une même courbe :
\subsection{Différentielles de Kähler}\label{subsection-kaehler-differentials}
-\begin{defn}
+\begin{defn}\label{definition-kaehler-differentials}
Soit $k$ un corps (ou même un anneau) et $A$ une $k$-algèbre. On
appelle espace des \defin{différentielles de Kähler} de $A$ sur $k$,
et on note $\Omega^1_{A/k}$, le $A$-module engendré par des symboles
formels $dx$ (ou $d_A x$ si on veut être plus précis) pour chaque $x
\in A$, sujets aux relations :
\begin{itemize}
-\item $d(x+x') = dx + dx'$ si $x,x'\in A$, et $d(cx) = c\,dx$ si $c\in
- k$ et $x\in A$ (i.e., $d\colon A \to \Omega^1_{A/k}$
+\item[(i)] $d(x+x') = dx + dx'$ si $x,x'\in A$, et $d(cx) = c\,dx$ si
+ $c\in k$ et $x\in A$ (i.e., $d\colon A \to \Omega^1_{A/k}$
est $k$-linéaire), et
-\item $d(xy) = x\, dy + y\, dx$ si $x,y \in A$
+\item[(ii)] $d(xy) = x\, dy + y\, dx$ si $x,y \in A$
\end{itemize}
(autrement dit, $\Omega^1_{A/k}$ est le quotient du $A$-module libre
de base $\{dx : x\in A\}$ par le sous-module engendré par les
@@ -5042,12 +5045,12 @@ satisfaisante serait de dire que $d\colon A \to \Omega^1_{A/k}$ a la
propriété « universelle » que toute autre application $\delta\colon A
\to M$ (où $M$ est un $A$-module) $k$-linéaire vérifiant $\delta(xy) =
x\,\delta(y) + y\,\delta(x)$ (on dit que $\delta$ est une
-\defin{dérivation} de $A$ à valeurs dans $V$) se factorise de façon
+\defin{dérivation} de $A$ à valeurs dans $M$) se factorise de façon
unique par $d$ (i.e., il existe une application $A$-linéaire $u\colon
-\Omega^1_{A/k}\to V$ unique tel que $\delta(x) = u(dx)$). Il est
+\Omega^1_{A/k}\to M$ unique tel que $\delta(x) = u(dx)$). Il est
purement formel de vérifier que cette propriété caractérise
-complètement $\Omega^1_{A/k}$, et est bien vérifiée de l'objet défini
-ci-dessus.
+complètement $\Omega^1_{A/k}$, et est bien vérifiée de l'objet
+construit en \ref{definition-kaehler-differentials}.
Pour une extension de corps $k \subseteq K$, le $K$-module
$\Omega^1_{K/k}$ est facile à décrire, à condition de faire une
@@ -5059,17 +5062,17 @@ propriétés suivantes sont équivalentes :
\begin{itemize}
\item si la caractéristique est $p>0$, alors dans $K$, les corps $K^p$
et $k$ sont linéairement disjoints sur $k^p$
- (cf. \ref{definition-linear-disjointness} ; i.e. les extensions $k^p
- \subseteq K^p$ et $k^p \subseteq k$, tous deux contenues dans $K$,
- sont linéairement disjointes),
+ (cf. \ref{definition-linear-disjointness} ; lire : les extensions
+ $k^p \subseteq K^p$ et $k^p \subseteq k$, tous deux contenues
+ dans $K$, sont linéairement disjointes),
\item il existe une base de transcendance $(t_1,\ldots,t_n)$ pour
laquelle $K$ est (algébrique) \emph{séparable}
sur $k(t_1,\ldots,t_n)$
(cf. \ref{definition-separable-algebraic-extension}).
\end{itemize}
(Plus généralement, si on ne suppose plus $k \subseteq K$ de type
-fini, la première condition est équivalente à la seconde pour toutes
-les sous-extensions de type fini $k \subseteq K_0$ de $K$.)
+fini, la première condition est équivalente à la seconde affirmée pour
+toutes les sous-extensions de type fini $k \subseteq K_0$ de $K$.)
\end{prop}
\begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof}
@@ -5091,8 +5094,9 @@ extension de corps en caractéristique $0$ est séparable (la première
condition de \ref{separable-iff-separating-transcendence-basis} doit
se lire comme trivialement vraie en caractéristique $0$). Plus
généralement, lorsque $k$ est \emph{parfait}
-(cf. \ref{definition-perfect-field}, par exemple, un corps fini),
-toute extension $k \subseteq K$ est séparable
+(cf. \ref{definition-perfect-field} ; par exemple, un corps fini),
+\emph{toute} extension $k \subseteq K$, algébrique ou non, est
+séparable
d'après \ref{separating-transcendence-basis-over-perfect-field} (qui
généralise donc la
remarque \ref{field-is-perfect-iff-every-algebraic-is-separable}).
@@ -5157,15 +5161,15 @@ alors ils sont une base de transcendance séparante.
courbe sur $k$, séparable
(cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), alors
\emph{$\Omega^1_{K/k}$ est un $K$-espace vectoriel de dimension $1$},
-et une base (i.e., un élément non nul...) en est donnée par n'importe
-quel $t\in K$ qui soit une base de transcendance séparante,
-c'est-à-dire $t$ transcendant et $k(t) \subseteq K$ (algébrique)
-séparable.
+et une base (c'est-à-dire, un élément non nul) en est donnée par $dt$
+pour n'importe quel $t\in K$ qui soit une base de transcendance
+séparante, autrement $t$ non constant et $k(t) \subseteq K$
+(algébrique) séparable.
Si $t$ est un tel élément, c'est-à-dire que tout élément $\omega$ de
-$\Omega^1_{K/k}$ est multiple de $dt$ par un coefficient unique, on
-peut noter $\frac{\omega}{dt} \in K$ ce coefficient, et notamment, il
-y a un sens à écrire $\frac{df}{dt}$ lorsque $f \in K$.
+$\Omega^1_{K/k}$ est multiple de $dt$ par un coefficient uniquement
+défini, on peut noter $\frac{\omega}{dt} \in K$ ce coefficient, et
+notamment, il y a un sens à écrire $\frac{df}{dt}$ lorsque $f \in K$.
\thingy À titre d'exemple, $\Omega^1_{k(t)/k}$ est le $k(t)$-espace
vectoriel de dimension $1$ et de base le symbole formel $dt$. Pour
@@ -5217,7 +5221,7 @@ unique $\omega = u t^i \alpha$ pour $u \in R^\times$ et $i \in
\end{prop}
\begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof}
-\begin{defn}
+\begin{defn}\label{definition-order-of-a-differential}
Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable
(cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), alors pour une
place $P$ de $C$ et une différentielle de Kähler $\omega \in
@@ -5239,7 +5243,13 @@ $\ord_P(\omega) < 0$, on dit qu'elle a un pôle en $P$.
\thingy Si $\omega \in \Omega^1_{K/k}$ et $g \in K$, il est clair que
$\ord_P(g\omega) = \ord_P(g) + \ord_P(\omega)$ (d'après la même
propriété pour deux fonctions, i.e.,
-d'après \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(i)).
+d'après \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(i)). On notera
+aussi que $\ord_P(df) \geq 0$ dès que $\ord_P(f) \geq 0$ (puisque les
+$df$ pour $f \in \mathcal{O}_P$ appartiennent
+à $\Omega^1_{\mathcal{O}_P/k}$
+d'après \ref{differentials-of-valuation-rings-of-a-curve}). Il n'est
+pas difficile de se convaincre que $\ord_P$ est la plus petite
+fonction qui possède les deux propriétés qu'on vient de signaler.
La définition de $\ord_P(\omega)$ assez complexe. Heureusement, on va
pouvoir la simplifier sous des hypothèses peu contraignantes
@@ -5259,55 +5269,51 @@ transcendance séparante de $K$ sur $k$).
\end{prop}
\begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof}
-\begin{cor}
+\begin{cor}\label{order-of-differential-wrt-uniformizer}
Dans les conditions de la
proposition \ref{uniformizer-is-separating-transcendance-basis}, on a
donc : $\ord_P(\omega) = \ord_P(\omega/dt)$ pour tout $\omega \in
-\Omega^1_{K/k}$.
+\Omega^1_{K/k}$ (ceci ne dépend pas du choix de l'uniformisante $t$).
\end{cor}
\begin{proof}
-On vient de voir que $dt$ est une base de $\Omega^1_{R/k}$,
-c'est-à-dire que $\ord_P(dt) = 0$. On a alors $\ord_P(\omega) =
-\ord_P(\omega/dt) + \ord_P(dt)$ comme on l'a signalé.
+On vient de voir
+en \ref{uniformizer-is-separating-transcendance-basis} que $dt$ est
+une base de $\Omega^1_{R/k}$, c'est-à-dire que $\ord_P(dt) = 0$. On a
+alors $\ord_P(\omega) = \ord_P(\omega/dt) + \ord_P(dt)$ comme on l'a
+signalé.
\end{proof}
\begin{prop}\label{order-of-derivatives}
Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable
-(cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), et $t$ une
-uniformisante en une $P \in \mathscr{V}_{K/k}$ elle-même séparable
-(i.e., $\varkappa_P$ séparable sur $k$) ; alors pour tout $f \in K$ on
-a :
+(cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), et $P \in
+\mathscr{V}_{K/k}$ une place elle-même séparable (i.e., $\varkappa_P$
+séparable sur $k$) ; alors pour tout $f \in K$ on a :
\begin{itemize}
-\item $\ord_P(df/dt) = \ord_P(f)-1$ si $\ord_P(f) \neq 0$ dans $k$
- (i.e., $\ord_P(f)$ n'est pas multiple de la caractéristique), et
-\item $\ord_P(df/dt) \geq 0$ si $\ord_P(f) \geq 0$.
+\item $\ord_P(df) = \ord_P(f)-1$ si $\ord_P(f) \neq 0$ dans $k$ (i.e.,
+ si $\ord_P(f)$ n'est pas multiple de la caractéristique), et
+\item $\ord_P(df) \geq 0$ si $\ord_P(f) \geq 0$.
\end{itemize}
\end{prop}
\begin{proof}
-D'après \ref{uniformizer-is-separating-transcendance-basis}, on sait
-que $dt$ est une base de $\Omega^1_{K/k}$ et même de $\Omega^1_{R/k}$
-où $R = \mathcal{O}_P$. Ceci permet donc donner un sens à $df/dt$
-pour tout $f \in K$ ; et on a même $df/dt \in R$ si $f \in R$ (car
-alors $df \in \Omega^1_{R/k}$). On vient donc de prouver le second
-point. Pour ce qui est du premier, écrivons $f = u t^i$ où $i =
-\ord_P(f)$ et $u \in R^\times$ (en
+Soit $R := \mathcal{O}_P$ et soit $t$ une uniformisante en $P$ (i.e.,
+$\ord_P(t) = 1$).
+
+La seconde propriété citée a déjà été signalée (elle affirme que les
+$df$ pour $f \in R$ appartiennent $\Omega^1_{R/k}$). Reste à montrer
+la première.
+
+D'après \ref{order-of-differential-wrt-uniformizer}, on sait que
+$\ord_P(df) = \ord_P(df/dt)$. Écrivons $f = u t^i$ où $i = \ord_P(f)$
+et $u \in R^\times$ (en
utilisant \ref{discrete-valuation-rings-are-principal}). On a alors
$df = i\,u\,t^{i-1}\,dt + t^i\,du$, soit $\frac{df}{dt} =
i\,u\,t^{i-1} + t^i\,\frac{du}{dt}$. Si $i\neq 0$, le premier terme a
valuation exactement $i-1$ et le second a valuation $\geq i$ (car
-$du/dt \in R$ comme on vient de le voir), donc la valuation de la
-somme est $i-1$ (on
+$du/dt \in R$ comme on vient de le voir au paragraphe précédent), donc
+la valuation de la somme est $i-1$ (on
utilise \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(ii.b)).
\end{proof}
-La proposition \ref{order-of-derivatives} signifie que pour $f \in K$
-non nul :
-\begin{itemize}
-\item $\ord_P(df) = \ord_P(f)-1$ si $\ord_P(f) \neq 0$ dans $k$ (i.e.,
- $\ord_P(f)$ n'est pas multiple de la caractéristique), et
-\item $\ord_P(df) \geq 0$ si $\ord_P(f) \geq 0$.
-\end{itemize}
-
\begin{prop}
Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable
(cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), et soit
@@ -5336,7 +5342,7 @@ le diviseur
\divis(\omega) := \sum_P \ord_P(\omega)\cdot (P)\\
\]
dont le coefficient devant chaque place $P$ est l'ordre de $\omega$ en
-cette place.
+cette place (cf. \ref{definition-order-of-a-differential}).
\end{defn}
\thingy À titre d'exemple, calculons $\divis(dt)$ sur $\mathbb{P}^1_k$
@@ -5353,7 +5359,23 @@ or $dh = h'\,dt$ (où $h'$ est la dérivée usuelle du polynôme $h$) donc
$0 = \ord_P(dh) = \ord_P(h') + \ord_P(dt)$, et comme $\ord_P(h') \geq
0$ puisque $h' \in k[t]$ et que $\ord_P(dt) \geq 0$, la seule
possibilité est que les deux termes sont nuls, donc en fait
-$\ord_P(dt) = 0$ pour chaque place $P$ autre que $\infty$.
+$\ord_P(dt) = 0$ pour chaque place $P$ autre que $\infty$. Bref, on a
+montré que $\ord_P(dt) = -2(\infty)$.
+
+\thingy Si $\omega$ et $\omega'$ sont deux différentielles non nulles
+sur une même courbe $C$, en appelant $h \in K^\times$ l'unique élément
+tel que $\omega' = h\omega$ (vu que $\Omega^1_{K/k}$ est de
+dimension $1$), on a $\divis(\omega') = \divis(h) + \divis(\omega)$,
+c'est-à-dire que les diviseurs canoniques associés à $\omega$ et
+$\omega'$ diffèrent par un diviseur principal, autrement dit, sont
+linéairement équivalents
+(cf. \ref{definition-linear-equivalence-and-picard-group}).
+
+On peut donc appeler \defin{classe canonique} la
+classe\footnote{Normalement la classe canonique est plutôt notée par
+ la lettre $K$, mais ici nous utilisons systématiquement $K$ pour le
+ corps des fonctions.} $W \in \Pic(C)$ de n'importe quel diviseur
+canonique.