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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-10 14:30:18 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-10 14:37:07 (GMT)
commit5088c051fb59c9137b7d733cc81ddda9d1a8f0de (patch)
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Provide at least some references for statements with missing proofs.
-rw-r--r--notes-accq205.tex70
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index 7ca54f8..097d1f5 100644
--- a/notes-accq205.tex
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -5094,7 +5094,9 @@ propriétés suivantes sont équivalentes :
fini, la première condition est équivalente à la seconde affirmée pour
toutes les sous-extensions de type fini $k \subseteq K_0$ de $K$.)
\end{prop}
-\begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof}
+\begin{proof}[Références]
+\cite[théorèmes 26.1 et 26.2]{Matsumura1989}
+\end{proof}
\thingy\label{separable-not-necessarily-algebraic-field-extensions}
Lorsque ces deux conditions équivalentes sont satisfaites, on dit que
@@ -5175,7 +5177,10 @@ $dt_1,\ldots,dt_n$. Réciproquement, si $t_1,\ldots,t_n \in K$ sont
tels que $dt_1,\ldots,dt_n$ soient linéairement indépendants sur $K$,
alors ils sont une base de transcendance séparante.
\end{prop}
-\begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof}
+\begin{proof}[Références]
+\cite[théorèmes 26.6 et 26.8]{Matsumura1989},
+\cite[lemme 2.8.3]{FriedJarden2008}
+\end{proof}
\thingy En particulier, si $K = k(C)$ est un corps de fonction de
courbe sur $k$, séparable
@@ -5239,7 +5244,9 @@ unique $\omega = u t^i \alpha$ pour $u \in R^\times$ et $i \in
\mathbb{Z}$, et qu'on ait $i\geq 0$ si et seulement si $\omega \in
\Omega^1_{R/k}$ (cf. \ref{discrete-valuation-rings-are-principal}(b)).
\end{prop}
-\begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof}
+\begin{proof}[Références]
+\cite[théorème II.8.8 et lemme II.8.9]{Hartshorne1977}
+\end{proof}
\begin{defn}\label{definition-order-of-a-differential}
Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable
@@ -5287,7 +5294,10 @@ précédente) ; en particulier, $dt$ est une base du $K$-espace
vectoriel $\Omega^1_{K/k}$ (ou si on préfère, $t$ est une base de
transcendance séparante de $K$ sur $k$).
\end{prop}
-\begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof}
+\begin{proof}[Références]
+\cite[théorème 2.5.7]{Goldschmidt2003},
+\cite[propositions II.1.4 et II.4.3]{Silverman1986}
+\end{proof}
\begin{cor}\label{order-of-differential-wrt-uniformizer}
Dans les conditions de la
@@ -5340,17 +5350,10 @@ Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable
$\omega \in \Omega^1_{K/k}$ non nulle. Alors l'ensemble des places
$P$ de $K$ telles que $\ord_P(\omega) \neq 0$ est fini.
\end{prop}
-%% \begin{proof}
-%% Soit $t \in K$ tel que $dt$ soit une base de $\Omega^1_{K/k}$ (par
-%% exemple une uniformisante en une place quelconque). Alors on peut
-%% écrire $\omega = g\,dt$ pour une certaine $g \in K$, et comme
-%% l'ensemble des places où $\ord_P(\omega)$ est non nul est inclus dans
-%% la réunion de celui des places où $\ord_P(g)$ est non nul (qui est
-%% fini d'après \ref{valuation-of-function-is-almost-everywhere-zero}) et
-%% de celui des places où $\ord_P(dt)$ est non nul, il suffit de montrer
-%% la finitude du second.
-%% \end{proof}
-\begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof}
+\begin{proof}[Références]
+\cite[lemme 2.5.1]{Goldschmidt2003},
+\cite[proposition II.4.3(e)]{Silverman1986}
+\end{proof}
\begin{defn}
Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable
@@ -5417,7 +5420,12 @@ notant $W$ un diviseur canonique :
\ell(D) - \ell(W-D) = \deg D + 1 - g
\]
\end{thm}
-\begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof}
+\begin{proof}[Références]
+\cite[corollaire 2.5.11]{Goldschmidt2003},
+\cite[théorème II.5.4]{Silverman1986},
+\cite[théorème IV.1.3]{Hartshorne1977},
+\cite[théorème 3.2.1]{FriedJarden2008}
+\end{proof}
\begin{cor}\label{degree-of-canonical-divisor}
\begin{itemize}
@@ -5478,6 +5486,36 @@ le corps des fractions rationnelles en une indéterminée.
+%
+%
+%
+
+\begin{thebibliography}{xxx}
+
+\bibitem[Fried \& Jarden 2008]{FriedJarden2008} Michael D. Fried \&
+ Moshe Jarden, \textit{Field Arithmetic}, Springer (3rd edition
+ 2008), ISBN 978-3-540-77269-9.
+
+\bibitem[Goldschmidt 2003]{Goldschmidt2003} David M. Goldschmidt,
+ \textit{Algebraic Functions and Projective Curves}, Springer (2003)
+ Graduate Texts in Mathematics \textbf{215}, ISBN 978-1-4419-2995-2.
+
+\bibitem[Hartshorne 1977]{Hartshorne1977} Robin Hartshorne,
+ \textit{Algebraic Geometry}, Springer (1977) Graduate Texts in
+ Mathematics \textbf{52}, ISBN 978-1-4419-2807-8.
+
+\bibitem[Matsumura 1989]{Matsumura1989} Hideyuki Matsumura,
+ \textit{Commutative Ring Theory}, Cambridge University Press
+ (paperback edition 1989), ISBN 978-0-521-36764-6.
+
+\bibitem[Silverman 1986]{Silverman1986} Joseph H. Silverman,
+ \textit{The Arithmetic of Elliptic Curves}, Springer (1986) Graduate
+ Texts in Mathematics \textbf{106}, ISBN 978-1-4757-1922-2.
+
+\end{thebibliography}
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