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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-15 13:33:21 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-17 16:40:18 (GMT)
commit695af75b31b535fa5a0192e0553927f348ce3abc (patch)
tree16349849e702bf21019c8dd5f03a24bd42773f91
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First exercise of exam.
-rw-r--r--controle-20160421.tex145
1 files changed, 141 insertions, 4 deletions
diff --git a/controle-20160421.tex b/controle-20160421.tex
index 9244928..e23dad4 100644
--- a/controle-20160421.tex
+++ b/controle-20160421.tex
@@ -15,11 +15,15 @@
\usepackage{wasysym}
\usepackage{url}
%
+\usepackage{xr-hyper}
+%
\usepackage{graphics}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{matrix,calc}
-%\usepackage{hyperref}
+\usepackage{hyperref}
+%
+\externaldocument{notes-accq205}[notes-accq205.pdf]
%
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{comcnt}{Tout}
@@ -92,9 +96,10 @@
\noindent\textbf{Consignes.}
-Les exercices sont complètement indépendants. Ils pourront être
-traités dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître
-de façon très visible dans les copies où commence chaque exercice.
+Les exercices sont indépendants sauf dans la mesure où le contraire
+est précisé. Ils pourront être traités dans un ordre quelconque, mais
+on demande de faire apparaître de façon très visible dans les copies
+où commence chaque exercice.
Il n'est pas nécessaire de faire des réponses longues.
@@ -112,6 +117,138 @@ Durée : 3h
%
%
+\exercice
+
+Soit $k$ un corps \emph{algébriquement clos}. On considère
+$f_1,\ldots,f_m \in k[t_1,\ldots,t_n]$ des polynômes \emph{homogènes}
+de degrés totaux respectifs $d_1,\ldots,d_m > 0$ en les indéterminées
+$t_1,\ldots,t_n$ (on rappelle qu'un polynôme est dit « homogène » de
+degré $d$ lorsque le degré total $\sum_{i=1}^n r_i$ de chacun de ses
+monômes $t_1^{r_1} \cdots t_n^{r_n}$ est égal à $d$). Le but de
+l'exercice est de montrer que si $n>m$ alors il existe dans $k^n$ un
+zéro commun non-trivial (c'est-à-dire différent de $(0,\ldots,0)$) à
+$f_1,\ldots,f_m$. On suppose donc par l'absurde que l'ensemble
+$Z(f_1,\ldots,f_m)$ des zéros communs à $f_1,\ldots,f_m$ est réduit à
+$\{(0,\ldots,0)\}$ et on va montrer $n \leq m$.
+
+(1) Montrer qu'il existe $r \in \mathbb{N}$ tel que tout monôme de
+degré total $\geq r$ en $t_1,\ldots,t_n$ appartienne à l'idéal $I$
+engendré par $f_1,\ldots,f_m$ dans $k[t_1,\ldots,t_n]$. On pourra
+pour cela observer que chaque $t_i$ s'annule sur $Z(f_1,\ldots,f_m)$
+et chercher à en conclure qu'une puissance de $t_i$ appartient à $I$.
+
+\begin{corrige}
+L'hypothèse faite est que le fermé de Zariski $Z(I)$ défini par
+$f_1=\ldots=f_m=0$ est le même que celui défini par
+$t_1=\ldots=t_n=0$, notamment, chaque $t_i$ s'annule sur $Z(I)$ (soit
+$t_i \in \mathfrak{I}(Z(I))$). Le Nullstellensatz fort
+(\ref{strong-nullstellensatz}) permet de conclure que pour chaque $i$
+il existe $r_i$ tel que $t_i^{r_i}$ appartienne à l'idéal $I$ engendré
+par $f_1,\ldots,f_m$ dans $k[t_1,\ldots,t_n]$. Si on appelle $r$ la
+somme des $r_i$ alors tout monôme de degré total au moins $r$ comporte
+nécessairement un facteur $t_i^{r_i}$ pour un certain $i$, et
+appartient donc à $I$.
+\end{corrige}
+
+\smallbreak
+
+(2) Déduire du (1) que tout monôme $q$ de degré total $\geq r$ en
+$t_1,\ldots,t_n$ s'écrit sous la forme $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m
+f_m$ où $h_1,\ldots,h_m$ sont eux-mêmes homogènes de degré total $\deg
+q - d_j$ (ou bien zéro, notamment lorsque $\deg q < d_j$). On pourra
+pour cela ne conserver que les monômes de bon degré total.
+
+\begin{corrige}
+La conclusion du (1) montre que pour tout monôme $q$ de degré total
+$\geq r$ en les $t_i$ il existe $h_1,\ldots,h_m \in k[t_1,\ldots,t_n]$
+tels que $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m f_m$. Observons à présent qu'en
+remplaçant $h_j$ par sa composante homogène de degré total $\deg q -
+d_j$, c'est-à-dire la somme des monômes ayant ce degré total (ou zéro
+si $\deg q < d_j$), puisque $f_j$ est homogène de degré total $d_j$ et
+que $q$ est également homogène (c'est un monôme !) de degré total
+$\deg q$, on a toujours l'égalité $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m f_m$ (en
+effet, on n'a pas changé les monômes de degré total $\deg q$ dans
+cette égalité).
+\end{corrige}
+
+\smallbreak
+
+Soit $A := k[f_1,\ldots,f_m]$ la sous-$k$-algèbre de
+$k[t_1,\ldots,t_n]$ engendrée par les éléments $f_1,\ldots,f_m$.
+
+(3) Réinterpréter l'égalité du (2) pour expliquer que tout monôme $q$
+de degré total $\deg q \geq r$ en $t_1,\ldots,t_n$ s'écrit comme
+combinaison $A$-linéaire de monômes en $t_1,\ldots,t_n$ chacun de
+degré total $< \deg q$. En déduire la même conclusion avec maintenant
+des monômes chacun de degré $< r$.
+
+\begin{corrige}
+En décomposant chaque $h_j$ comme somme de monômes de degré total
+$\deg q - d_j$, l'égalité $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m f_m$ obtenue
+en (2) signifie que (si $q$ est un monôme de degré $\geq r$) le monôme
+$q$ est combinaison linéaire à coefficients dans $A$ des monômes de
+degré total $< \deg q$, i.e., strictement plus petit que lui.
+
+En récrivant de nouveau les monômes qui sont de plus grand degré $\geq
+r$ comme combinaison des monômes de degré strictement plus petit
+qu'eux, et en itérant ce processus (qui termine vu que le plus grand
+degré total d'un monôme qui apparaît dans la combinaison $A$-linéaire
+décroît strictement à chaque étape tant qu'il est au moins égal à
+$r$), on finit par arriver à une combinaison $A$-linéaire de monômes
+chacun de degré total $< r$, soit la conclusion souhaitée.
+\end{corrige}
+
+\smallbreak
+
+Soit $K$ le corps des fractions de l'anneau intègre $A$ (vu à
+l'intérieur de $k(t_1,\ldots,t_n)$), c'est-à-dire la sous-extension
+$k(f_1,\ldots,f_m)$ de $k(t_1,\ldots,t_n)$ engendrée
+par $f_1,\ldots,f_m$ au-dessus de $k$.
+
+(4) Déduire de (3) que la sous-$K$-algèbre $K[t_1,\ldots,t_n]$ de
+$k(t_1,\ldots,t_n)$ engendrée par les $t_i$ (i.e., l'ensemble des
+combinaisons $K$-linéaires des monômes en $t_1,\ldots,t_n$) est un
+$K$-espace vectoriel de dimension finie. Conclure que
+$K[t_1,\ldots,t_n]$ est un corps, qu'il coïncide avec
+$k(t_1,\ldots,t_n)$, donc que ce dernier est un $K$-espace vectoriel
+de dimension finie.
+
+\begin{corrige}
+On vient de voir que tout monôme en les $t_1,\ldots,t_n$ s'écrit comme
+combinaison linéaire à coefficients dans $A$, donc à plus forte raison
+dans $K$, des monômes de degré $<r$. Comme il n'y a qu'un nombre fini
+de monômes de degré $<r$, le $K$-espace vectoriel $K[t_1,\ldots,t_n]$
+engendré (dans $k(t_1,\ldots,t_n)$) par tous les monômes en les $t_i$
+est de dimension finie.
+
+Or $K[t_1,\ldots,t_n]$ est également un anneau intègre (puisque c'est
+un sous-anneau du corps $k(t_1,\ldots,t_n)$) : et un anneau intègre de
+dimension finie sur un corps est lui-même un corps
+(\ref{finite-integral-algebra-is-a-field}). Donc $K[t_1,\ldots,t_n]$
+est un corps, et comme il contient $k$ et $t_1,\ldots,t_n$, et est
+contenu dans $k(t_1,\ldots,t_n)$, il coïncide avec ce dernier.
+
+On a donc prouvé que $K[t_1,\ldots,t_n] = k(t_1,\ldots,t_n)$ est un
+$K$-espace vectoriel de dimension finie.
+\end{corrige}
+
+\smallbreak
+
+(5) En raisonnant sur le degré de transcendance, conclure que $n \leq m$.
+
+\begin{corrige}
+L'extension de corps $K \subseteq k(t_1,\ldots,t_n)$ étant finie, elle
+est algébrique. On peut alors extraire de $f_1,\ldots,f_m$ une base
+de transcendance sur $k$ de $K = k(f_1,\ldots,f_m)$
+(\ref{transcendence-basis-facts}(1b)), et puisque $k(t_1,\ldots,t_n)$
+est algébrique sur $K$, la base de transcendance trouvée est encore
+une base de transcendance sur $k$ de $k(t_1,\ldots,t_n)$, bref
+$\degtrans_k k(t_1,\ldots,t_n) \leq m$. Or manifestement
+$t_1,\ldots,t_n$ est une base de transcendance de $k(t_1,\ldots,t_n)$
+donc on a $\degtrans_k k(t_1,\ldots,t_n) = n$. On a bien prouvé $n
+\leq m$.
+\end{corrige}
+
%