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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-11 17:25:08 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-11 17:25:08 (GMT)
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+++ b/notes-accq205.tex
@@ -5336,27 +5336,32 @@ séparable sur $k$) ; alors pour tout $f \in K$ on a :
\begin{itemize}
\item $\ord_P(df) = \ord_P(f)-1$ si $\ord_P(f) \neq 0$ dans $k$ (i.e.,
si $\ord_P(f)$ n'est pas multiple de la caractéristique), et
-\item $\ord_P(df) \geq 0$ si $\ord_P(f) \geq 0$.
+\item $\ord_P(df) \geq 0$ si $\ord_P(f) \geq 0$, et plus généralement
+ $\ord_P(df) \geq \ord_P(f)$ si $\ord_P(f)$ est multiple de la
+ caractéristique de $k$.
\end{itemize}
\end{prop}
\begin{proof}
Soit $R := \mathcal{O}_P$ et soit $t$ une uniformisante en $P$ (i.e.,
$\ord_P(t) = 1$).
-La seconde propriété citée a déjà été signalée (elle affirme que les
-$df$ pour $f \in R$ appartiennent $\Omega^1_{R/k}$). Reste à montrer
-la première.
+La seconde propriété que $\ord_P(df) \geq 0$ si $\ord_P(f) \geq 0$ a
+déjà été signalée (elle affirme que les $df$ pour $f \in R$
+appartiennent $\Omega^1_{R/k}$). On va l'utiliser pour montrer les
+autres.
D'après \ref{order-of-differential-wrt-uniformizer}, on sait que
$\ord_P(df) = \ord_P(df/dt)$. Écrivons $f = u t^i$ où $i = \ord_P(f)$
et $u \in R^\times$ (en
utilisant \ref{discrete-valuation-rings-are-principal}). On a alors
$df = i\,u\,t^{i-1}\,dt + t^i\,du$, soit $\frac{df}{dt} =
-i\,u\,t^{i-1} + t^i\,\frac{du}{dt}$. Si $i\neq 0$, le premier terme a
-valuation exactement $i-1$ et le second a valuation $\geq i$ (car
-$du/dt \in R$ comme on vient de le voir au paragraphe précédent), donc
-la valuation de la somme est $i-1$ (on
-utilise \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(ii.b)).
+i\,u\,t^{i-1} + t^i\,\frac{du}{dt}$. Si $i\neq 0$ dans $k$, le
+premier terme a valuation exactement $i-1$ et le second a
+valuation $\geq i$ (car $du/dt \in R$ comme on vient de le voir au
+paragraphe précédent), donc la valuation de la somme est $i-1$ (on
+utilise \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(ii.b)). Si
+$i=0$ dans $k$, le premier terme s'annule et le second a toujours
+valuation $\geq i$.
\end{proof}
\begin{prop}
@@ -5416,6 +5421,21 @@ classe\footnote{Normalement la classe canonique est plutôt notée par
corps des fonctions.} $W \in \Pic(C)$ de n'importe quel diviseur
canonique.
+\thingy Si $D = \sum_P n_P \cdot (P)$ est un diviseur et $W$ un
+diviseu canonique, on pourra remarquer que
+\[
+\mathscr{L}(W-D) \cong \{\omega \in \Omega^1_{K/k} : (\forall P)\,
+\ord_P(\omega) \geq n_P\}
+\]
+(où $\cong$ désigne un isomorphisme de $k$-espace vectoriels,
+c'est-à-dire l'égalité des dimensions) : précisément, si $W =
+\divis(\omega_0)$, alors $\mathscr{L}(W-D) = \{f \in K^\times :
+\divis(f) + \divis(\omega_0) - D \geq 0\} \cup \{0\} = \{f \in
+K^\times : \divis(f \omega_0) - D \geq 0\} \cup \{0\}$ est isomorphe
+via $f \mapsto f\omega_0$ à $\{\omega\in \Omega^1_{K/k}\setminus\{0\}
+: \divis(\omega) - D \geq 0\} \cup \{0\}$, c'est-à-dire ce qu'on a
+écrit ci-dessus.
+
\subsection{Le théorème de Riemann-Roch}\label{subsection-riemann-roch}
@@ -5475,8 +5495,8 @@ nous permet de calculer $g_{\mathbb{P}^1}$ par $2g_{\mathbb{P}^1} - 2
= -2$ soit $g_{\mathbb{P}^1} = 0$. Voici une forme de réciproque :
\begin{prop}
-Soit $C$ une courbe géométriquement intègre de genre $0$ et ayant une
-place rationnelle (cf. \ref{degree-of-a-place}). Alors $C$ est
+Soit $C$ une courbe géométriquement irréductible de genre $0$ et ayant
+une place rationnelle (cf. \ref{degree-of-a-place}). Alors $C$ est
isomorphe à $\mathbb{P}^1$ (c'est-à-dire que $k(C)$ est $k(t)$ : la
courbe est \emph{rationnelle}).
\end{prop}
@@ -5487,16 +5507,10 @@ $\ell((P)) = 2$. Il existe donc une fonction $f$ non-constante,
admettant au plus un pôle simple, en $P$ ; comme elle est
non-constante, d'après \ref{constant-functions-on-a-curve}, elle doit
aussi avoir un pôle, donc $\divis(f)$, qui doit être de degré $0$, est
-de la forme $(P) - (Q)$.
-
-On applique encore \ref{degree-of-canonical-divisor}(B) au diviseur $D
-:= (P)-(Q)$ : il montre que $\ell(D) = 1$.
-Mais \ref{negative-degree-divisors-have-no-sections} montre que $D
-\sim 0$, c'est-à-dire qu'il existe $f \in k(C)$ tel que $\divis(f) =
-(P) - (Q)$. D'après \ref{degree-identity}, on voit que $\deg f
-:=[k(C):k(f)] = 1$, c'est-à-dire $k(C) = k(f)$, et comme $f$ est
-transcendante parce que non constante, on a bien montré que $k(C)$ est
-le corps des fractions rationnelles en une indéterminée.
+de la forme $(Q) - (P)$. D'après \ref{degree-identity}, on voit que
+$\deg f :=[k(C):k(f)] = 1$, c'est-à-dire $k(C) = k(f)$, et comme $f$
+est transcendante parce que non constante, on a bien montré que $k(C)$
+est le corps des fractions rationnelles en une indéterminée.
\end{proof}