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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-03-18 19:58:39 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-03-18 19:58:39 (GMT)
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--- a/notes-accq205.tex
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -3076,16 +3076,6 @@ L'extension de corps $k(x) \subseteq k(C)$ (quand on voit $k(C)$ comme
$k(x)[y]/(P)$) correspondra à la projection $C \to \mathbb{P}^1$ sur
la première coordonnée.
-\thingy La
-proposition \ref{separating-transcendence-basis-over-perfect-field}
-montre que, au moins si $k$ est un corps parfait, on peut toujours se
-ramener à la situation qui vient d'être décrite. (Et si $k$ n'est pas
-parfait, on peut défendre l'idée que la définition donnée
-en \ref{definition-function-field} n'est pas la bonne et qu'on devrait
-supposer $K$ algébrique \emph{séparable} sur une extension
-transcendante pure $k(x)$.) En un certain sens, donc, toutes les
-courbes algébriques sont « planes » (mais de nouveau, ceci dépend
-hautement du point de vue choisi pour étudier les courbes).
Donnons quelques exemples plus précis, puis discutons ce qui se passe
dans des cas adjacents.
@@ -3375,6 +3365,52 @@ est irréductible (cf. \ref{closed-irreducible-iff-prime-ideal}) mais
qui cesse de l'être sur la clôture algébrique
(cf. \ref{geometric-irreducibility}).
+\thingy Bien sûr, il n'y a pas de raison de se limiter aux courbes
+\emph{planes} ou même, dans une certaine mesure, de se limiter aux
+courbes du tout : si $I \subseteq k[t_1,\ldots,t_d]$ est un idéal
+premier quelconque, alors $X := Z(I)$ est un fermé de Zariski
+irréductible, et le corps des fractions de l'anneau intègre
+$k[t_1,\ldots,t_d]/I$ des fonctions régulières sur $X$ mérite de
+s'appeler \textbf{corps des fonctions rationnelles} de $X$, qu'on peut
+noter $k(X)$. Le degré de transcendance $\degtrans_k k(X)$ sera
+appelé \textbf{dimension} de $X$, mais nous ne considérerons vraiment
+que le cas des courbes, c'est-à-dire, de la dimension $1$ : celui-ci a
+de particulier qu'on pourra alors voir un élément de $k(X)$ comme une
+vraie fonction de $X$ vers $\mathbb{P}^1$, quitte à lui la
+valeur $\infty$ sur les pôles (alors qu'en dimension $\geq 2$ une
+fonction rationnelle peut ne pas être définie sans pour autant avoir
+un pôle : penser à $x/y$ en $(x,y) = (0,0)$).
+
+\thingy Si $I \subseteq k[t_1,\ldots,t_d]$ est un idéal premier tel
+que $Z(I)$ soit de dimension $1$, c'est-à-dire que le corps des
+fractions $K$ de l'anneau intègre $k[t_1,\ldots,t_d]/I$ soit un corps
+de fonctions de courbe au sens où on l'a défini, la
+proposition \ref{separating-transcendence-basis-over-perfect-field}
+montre que, au moins si $k$ est un corps \emph{parfait}, on peut
+toujours se ramener à la situation qui vient d'être décrite. (Et si
+$k$ n'est pas parfait, on peut défendre l'idée que la définition
+donnée en \ref{definition-function-field} n'est pas la bonne et qu'on
+devrait supposer $K$ algébrique \emph{séparable} sur une extension
+transcendante pure $k(x)$.) En un certain sens, donc, toutes les
+courbes algébriques sont « planes » (mais de nouveau, ceci dépend
+hautement du point de vue choisi pour étudier les courbes).
+
+On peut dire mieux : en étudiant la démonstration de la
+proposition \ref{separating-transcendence-basis-over-perfect-field}
+(et du théorème \ref{primitive-element-theorem} dont elle dépend), on
+voit que celle-ci est constructive (elle peut être rendue
+algorithmique) : on va obtenir explicitement deux coordonnées $x,y \in
+K$ telles que $K = k(x,y)$ avec $x$ transcendant et $y$ algébrique
+séparable sur $k(x)$, c'est-à-dire une façon de tracer la courbe dans
+le plan ; en fait, c'est même une projection linéaire qui conviendra,
+puisque dans la démonstration de \ref{primitive-element-theorem} on
+n'a pris que des combinaisons linéaires des indéterminées, donc $x$ et
+$y$ sont finalement des combinaisons linéaires des (classes des)
+coordonnées $t_i$ de départ. Cette projection peut, cependant,
+introduire des singularités (il existe des courbes algébriques qui ne
+peuvent pas être représentées comme des courbes planes
+non-singulières).
+