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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-03-21 18:05:02 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-03-21 18:05:02 (GMT)
commita5477e82daf84380e9e354daba2328ee7896560e (patch)
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Slightly expand remarks on irreductible polynomials vs. Galois orbits.
-rw-r--r--notes-accq205.tex34
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--- a/notes-accq205.tex
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -1818,7 +1818,8 @@ l'élément $x_{d+1}$ est séparable.
\subsection{Théorie de Galois : énoncé de résultats}
-\thingy Si $K$ est un corps et $L$ une extension algébrique de $K$
+\thingy\label{definition-conjugate-elements}
+Si $K$ est un corps et $L$ une extension algébrique de $K$
deux éléments $x,x'$ de $L$ sont dits \textbf{conjugués} sur $K$
lorsqu'ils ont le même polynôme minimal sur $K$, autrement dit,
lorsque l'un est racine du polynôme minimal de l'autre (il s'agit
@@ -1978,7 +1979,8 @@ groupe de Galois fixe l'objet considéré (pour une certaine action
provenant de l'action naturelle sur $L$ : par exemple, pour un
polynôme, l'action sur les coefficients du polynôme).
-\thingy Le groupe de Galois d'un polynôme séparable $f$ sur un corps
+\thingy\label{galois-group-of-polynomial-and-permutations}
+Le groupe de Galois d'un polynôme séparable $f$ sur un corps
$K$ est le groupe de Galois $G$ du corps de décomposition
(cf. \ref{definition-decomposition-field}) $L$ de $f$ : il s'agit bien
d'une extension galoisienne, et par ailleurs, tout $\sigma \in G$ doit
@@ -2010,6 +2012,17 @@ quoi toute permutation n'est pas forcément possible au sein des
racines d'un même polynôme irréductible, et il n'est pas non plus
évident de \emph{calculer} effectivement un groupe de Galois.
+A minima, on retiendra que, pour $L$ galoisienne sur $K$, les
+\emph{orbites} de $L$ sous l'action du groupe de Galois $G :=
+\Gal(K\subseteq L)$ (c'est-à-dire les $\{\sigma(x) : \sigma\in G\}$
+pour $x \in L$) sont exactement les classes d'équivalence pour la
+relation « être conjugués sur $K$ »
+(cf. \ref{definition-conjugate-elements}) ; ou, si on préfère, on a
+une bijection entre l'ensemble des polynômes unitaires irréductibles
+sur $K$ qui se scindent dans $L$ et l'ensemble $L/G$ des orbites de
+$L$ sous $G$, la bijection envoyant $f$ sur l'ensemble de ses racines
+dans $L$.
+
\thingy Dans beaucoup de cas, le groupe de Galois d'un polynôme $f \in
K[t]$ irréductible séparable de degré $n$ est égal au groupe
$\mathfrak{S}_n$ de toutes les permutations des racines de $f$ (ceci
@@ -3062,14 +3075,15 @@ irréductibles dans $k[t]$. Si $k$ est \emph{parfait}, tout $h \in
(t-\xi)$ où $M$ est une orbite de $k$ sous $\Gamma_k := \Gal(k
\subseteq k^{\alg})$ (puisque deux éléments de $k$ sont conjugués si
et seulement si ils sont dans la même orbite sous $\Gamma_k$,
-notamment d'après \ref{existence-uniqueness-decomposition-field}(2b)).
-On peut donc écrire tout élément non nul de $k(t)$ de façon unique
-sous la forme $c \prod_{\xi \in k^{\alg}} (t-\xi)^{v_\xi}$ où $c \in
-k^\times$, les $v_\xi$ sont des entiers (relatifs) tous nuls sauf un
-nombre fini, et $v_\xi$ est invariant sous $\Gamma_k$ (i.e.,
-$v_{\sigma(\xi)} = v_\xi$ pour tout $\sigma\in\Gamma_k$ et $\xi \in
-k^{\alg}$). Un des thèmes de ce qui va suivre est de généraliser ce
-type d'écriture au corps des fonctions d'une courbe quelconque.
+notamment d'après \ref{galois-group-of-polynomial-and-permutations}
+ou \ref{existence-uniqueness-decomposition-field}(2b)). On peut donc
+écrire tout élément non nul de $k(t)$ de façon unique sous la forme $c
+\prod_{\xi \in k^{\alg}} (t-\xi)^{v_\xi}$ où $c \in k^\times$, les
+$v_\xi$ sont des entiers (relatifs) tous nuls sauf un nombre fini, et
+$v_\xi$ est invariant sous $\Gamma_k$ (i.e., $v_{\sigma(\xi)} = v_\xi$
+pour tout $\sigma\in\Gamma_k$ et $\xi \in k^{\alg}$). Un des thèmes
+de ce qui va suivre est de généraliser ce type d'écriture au corps des
+fonctions d'une courbe quelconque.
\thingy Si $P \in k[x,y]$ est un polynôme irréductible en deux
indéterminées $x,y$ et faisant effectivement intervenir $y$, on peut