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index a40e088..02d25db 100644
--- a/controle-20210414.tex
+++ b/controle-20210414.tex
@@ -110,7 +110,9 @@ Git: \input{vcline.tex}
 
 Soit $k$ un corps de caractéristique $\neq 2$ (c'est-à-dire qu'on
 pourra librement diviser par $2$), dont on notera $k^{\alg}$ la
-clôture algébrique.
+clôture algébrique.  On rappelle qu'un « point géométrique » de
+$\mathbb{P}^n$ désigne un point à coordonnées dans $k^{\alg}$, tandis
+qu'un « point rationnel » désigne un point à coordonnées dans $k$.
 
 \smallbreak
 
@@ -146,10 +148,9 @@ dans $k$. $\bullet$ (c) Reformuler ce résultat concernant le fermé de
 Zariski $\{c_2 x^2 + c_1 x y + c_0 y^2 = 0\}$ de la droite projective
 $\mathbb{P}^1$ (de coordonnées homogènes notées $(x:y)$) sur $k$ :
 pour $\Delta\neq 0$, ce fermé a exactement deux points géométriques
-(c'est-à-dire à coefficients dans $k^{\alg}$) distincts, qui sont
-rationnels (c'est-à-dire à coefficients dans $k$) si et seulement si
-$\Delta$ est un carré dans $k$ ; tandis que pour $\Delta=0$, il a
-exactement un point géométrique, et celui-ci est rationnel.
+distincts, qui sont rationnels si et seulement si $\Delta$ est un
+carré dans $k$ ; tandis que pour $\Delta=0$, il a exactement un point
+géométrique, et celui-ci est rationnel.
 
 \smallbreak
 
@@ -179,9 +180,12 @@ quadratique ») non nul\footnote{\label{nonsquare-footnote}On pourra
   comme la droite « doublée ») : on ignorera donc ce cas.} en trois
 variables $x,y,z$ qu'on identifie aux coordonnées homogènes
 sur $\mathbb{P}^2$.  À titre d'exemple, $\{x^2 + y^2 - z^2 = 0\}$ est
-une telle conique.  En général, une conique s'écrit $\{q = 0\}$ où $q
-= a_x\, x^2 + a_y\, y^2 + a_z\, z^2 + b_x\, yz + b_y\, xz + b_z\, xy$
-avec $a_x,a_y,a_z,b_x,b_y,b_z$ six coefficients dans $k$.
+une telle conique.
+
+En général, une conique s'écrit $\{q = 0\}$ où $q = a_x\, x^2 + a_y\,
+y^2 + a_z\, z^2 + b_x\, yz + b_y\, xz + b_z\, xy$ avec
+$a_x,a_y,a_z,b_x,b_y,b_z$ six coefficients dans $k$, et on adoptera
+cette notation.
 
 \smallbreak
 
@@ -193,64 +197,137 @@ point vérifiant ces conditions est automatiquement sur $C_q$ (i.e.,
 pourquoi l'annulation de $\frac{\partial q}{\partial x}$,
 $\frac{\partial q}{\partial y}$ et $\frac{\partial q}{\partial z}$ en
 $(x_0:y_0:z_0)$ quelconque de $\mathbb{P}^2$ implique celle de $q$).
-Donner une condition sur les coefficients de leurs équations pour que
-trois droites dans $\mathbb{P}^2$ soient concourantes.  En déduire que
-la conique $C_q$ a un point singulier si et seulement si ses
-coefficients vérifient
+Donner une condition pour que trois droites dans $\mathbb{P}^2$ soient
+concourantes (condition sur les coefficients de leurs équations).  En
+déduire que la conique $C_q$ a un point singulier si et seulement si
+ses coefficients vérifient
 \[
 4 a_x a_y a_z - a_x b_x^2 - a_y b_y^2 - a_z b_z^2 + b_x b_y b_z = 0
 \]
 et qu'il revient au même de dire qu'elle a un point singulier
-rationnel (c'est-à-dire à coordonnées dans $k$) ou géométrique
-(c'est-à-dire à coordonnées dans $k^{\alg}$).
+géométrique ou rationnel.
 
 \smallbreak
 
 \textbf{(5)} Dans cette question, on souhaite mieux comprendre la
 structure d'une conique ayant un point singulier $(x_0:y_0:z_0)$.
-Expliquer pourquoi on peut supposer que ce point singulier est le
-point $(0:0:1)$.  Montrer que la conique est alors $\{a_x\, x^2 +
-b_z\, xy + a_y\, y^2 = 0\}$.  En utilisant le résultat de la
-question (2) et en notant $\Delta := b_z^2 - 4 a_x a_y$, qu'on
-supposera $\neq 0$ (cf. note \ref{nonsquare-footnote}), montrer que la
-conique $C_q$ est la réunion de deux droites géométriques
-(c'est-à-dire dont les équations sont à coefficients dans $k^{\alg}$),
-s'intersectant au point singulier, et que si $\Delta$ est un carré
-dans $k$, ces droites sont, en fait, rationnelles (c'est-à-dire que
-leurs équations sont à coefficients dans $k$).  $\bullet$ Donner un
-exemple aussi simple que possible, sur $\mathbb{R}$, de conique réelle
-ayant un point singulier (disons $(0:0:1)$), d'une part dans la
-situation où les deux droites dont elle est réunion sont réelles, et
-d'autre part dans la situation où elles sont complexes.
+Expliquer pourquoi on peut supposer sans perte de généralité que ce
+point singulier est le point $(0:0:1)$.  Montrer que la conique est
+alors $\{a_x\, x^2 + b_z\, xy + a_y\, y^2 = 0\}$.  En utilisant le
+résultat de la question (2) et en notant $\Delta := b_z^2 - 4 a_x
+a_y$, qu'on supposera $\neq 0$ (cf. note \ref{nonsquare-footnote}),
+montrer que la conique $C_q$ est la réunion de deux droites
+géométriques (c'est-à-dire dont les équations sont à coefficients
+dans $k^{\alg}$), s'intersectant au point singulier, et que si
+$\Delta$ est un carré dans $k$, ces droites sont, en fait,
+rationnelles (c'est-à-dire que leurs équations sont à coefficients
+dans $k$).  $\bullet$ Donner un exemple aussi simple que possible, sur
+$\mathbb{R}$, de conique réelle ayant un point singulier
+(disons $(0:0:1)$), d'une part dans la situation où les deux droites
+dont elle est réunion sont réelles, et d'autre part dans la situation
+où elles sont complexes.
 
 \smallbreak
 
-On supposera maintenant la conique $C_q$ \emph{lisse}, c'est-à-dire
-vérifiant $4 a_x a_y a_z - a_x b_x^2 - a_y b_y^2 - a_z b_z^2 + b_x b_y
-b_z \neq 0$ (cf. question (4)).
+On supposera maintenant, et jusqu'à la fin, que la conique est $C_q$
+\emph{lisse}, c'est-à-dire vérifie $4 a_x a_y a_z - a_x b_x^2 - a_y
+b_y^2 - a_z b_z^2 + b_x b_y b_z \neq 0$ (cf. question (4)).
 
-On appellera \emph{droite polaire}, relativement à $C_q$ (ou à $q$)
-d'un point $P_0 := (x_0:y_0:z_0)$ de $\mathbb{P}^2$ (non
-nécessairement situé sur $C_q$) la droite $\{ux+vy+wz = 0\}$ dont les
-coefficients $u,v,w$ sont donnés par $\frac{\partial q}{\partial x}$,
-$\frac{\partial q}{\partial y}$ et $\frac{\partial q}{\partial z}$
-respectivement, évalués en $x_0,y_0,z_0$.
+\smallbreak
+
+On appelle \emph{droite polaire}, relativement à $C_q$ (ou à $q$) d'un
+point $P_0 := (x_0:y_0:z_0)$ de $\mathbb{P}^2$ (non nécessairement
+situé sur $C_q$) la droite $\{u_0 x + v_0 y + w_0 z = 0\}$ dont les
+coefficients $u_0,v_0,w_0$ sont donnés par $\frac{\partial q}{\partial
+  x}$, $\frac{\partial q}{\partial y}$ et $\frac{\partial q}{\partial
+  z}$ respectivement, évalués en $x_0,y_0,z_0$.
 
 \textbf{(6)} Pourquoi cette définition a-t-elle un sens ?  (Autrement
-dit, pourquoi $u,v,w$ ne s'annulent-ils pas simultanément ?  Et
+dit, pourquoi $u_0,v_0,w_0$ ne s'annulent-ils pas simultanément ?  Et
 pourquoi la droite ne dépend-elle pas du choix des coordonnées
-homogènes $(x_0,y_0,z_0)$ de $P_0$ ?)  Montrer que $P_0 :=
-(x_0:y_0:z_0)$ est sur $C_q$ si et seulement si il est situé sur sa
-propre droite polaire.  Montrer que, lorsque c'est le cas, la droite
-polaire $D_0$ en question rencontre $C_q$ en l'unique point
-(géométrique) $P_0$ ; on dit que c'est la \emph{tangente} à $C_q$
-en $P_0$.
-
-\textbf{(7)} Si $P_0$ et $P_1$ sont deux points de $\mathbb{P}^2$,
-montrer que $P_1$ est sur la droite polaire de $P_0$ si et seulement
-si $P_0$ est sur la droite polaire de $P_1$ (on pourra exprimer ce
-fait de comme une équation symétrique entre les coordonnées homogènes
-$(x_0,y_0,z_0)$ de $P_0$ et celles $(x_1,y_1,z_1)$ de $P_1$).
+homogènes $(x_0,y_0,z_0)$ de $P_0$ ?)  Montrer que, si $P_0$ et $P_1$
+sont deux points de $\mathbb{P}^2$, alors $P_1$ est sur la droite
+polaire de $P_0$ si et seulement si $P_0$ est sur la droite polaire
+de $P_1$ (on pourra exprimer ce fait de comme une équation symétrique
+entre les coordonnées homogènes $(x_0,y_0,z_0)$ de $P_0$ et celles
+$(x_1,y_1,z_1)$ de $P_1$).  Montrer que $P_0$ est sur $C_q$ si et
+seulement si il est situé sur sa propre droite polaire.
+
+\textbf{(7)} Montrer que l'application envoyant un point de
+$\mathbb{P}^2$ sur sa droite polaire définit une bijection des points
+de $\mathbb{P}^2$ (géométriques ou rationnels) sur les droites de
+$\mathbb{P}^2$ (géométriques ou rationnelles) : pour cela, on pourra
+constater que l'application $(x_0,y_0,z_0) \mapsto (u_0,v_0,w_0)$ est
+linéaire.  Expliquer pourquoi cette application envoie trois points
+alignés sur trois droites concourantes.
+
+\textbf{(8)} Montrer que si $P_0$ est situé sur $C_q$, alors
+l'intersection de la droite polaire de $P_0$ avec $C_q$ est réduite au
+seul point $P_0$.  (S'il y avait un deuxième point, on pourra montrer
+qu'il aurait forcément la même droite polaire que $P_0$.)
+Réciproquement, montrer que si $D$ est une droite de $\mathbb{P}^2$
+rencontrant $C_q$ en un seul point, elle est la droite polaire de ce
+point.  Expliquer pourquoi ce point est automatiquement rationnel si
+$D$ l'est (autrement dit, on peut écrire « un seul point » sans
+ambiguïté dans les phrases précédentes).
+
+\smallbreak
+
+On appelle \emph{tangente} à $C_q$ en un de ses points la droite
+polaire de ce point : on vient de voir qu'une droite est tangente à
+$C_q$ lorsqu'elle la rencontre en un seul point (géométrique et
+automatiquement rationnel si la droite l'est) ; ce point s'appelle le
+point de \emph{tangence} de la tangente.
+
+On appelle \emph{triangle autopolaire} (relativement à $C_q$ ou à $q$)
+la donnée de trois points $P_0,P_1,P_2$ distincts de $\mathbb{P}^2$
+tels que chacun soit situé sur la droite polaire de chacun des deux
+autres.
+
+\textbf{(9)} Expliquer pourquoi on peut toujours trouver un triangle
+autopolaire (rationnel).  À quelle condition sur les coefficients
+de $q$ le triangle $(1{:}0{:}0),(0{:}1{:}0),(0{:}0{:}1)$ est-il
+autopolaire ?  En déduire que toute conique (plane, lisse) s'écrit,
+après une transformation projective, sous la forme $\{a_x\, x^2 +
+a_y\, y^2 + a_z\, z^2 = 0\}$ (on dit qu'elle est \emph{diagonale}).
+
+\textbf{(10)} En supposant temporairement que la conique $C_q$ est
+diagonale, c'est-à-dire $b_x=b_y=b_z=0$ (cf. question précédente),
+montrer que la droite $\{ux + vy + wz = 0\}$ est tangente à $C_q$ si
+et seulement si $a_y a_z u^2 + a_x a_z v^2 + a_x a_y w^2 = 0$.
+$\bullet$ En déduire que, de manière générale, l'ensemble des points
+$(u:v:w)$ de $\mathbb{P}^2$ (le plan projectif « dual ») tels que la
+droite $\{ux + vy + wz = 0\}$ (du plan projectif d'origine, de
+coordonnées $(x:y:z)$) soit tangente à $C_q$ définit lui-même une
+conique (qu'on appelle conique \emph{duale} de $C_q$) ; on ne demande
+pas d'écrire ses équations.  $\bullet$ En déduire que par un point $P$
+non situé sur $C_q$ passent, géométriquement, exactement deux
+tangentes à $C_q$.
+
+\textbf{(11)} En déduire la construction géométrique suivante de la
+droite polaire $D$ d'un point $P$ de $\mathbb{P}^2$ : si $P$ est situé
+sur $C_q$ c'est la tangente à $C_q$ en $P$, tandis que si $P$ n'est
+pas situé sur $C_q$, alors $D$ est la droite reliant les deux points
+de tangence, forcément distincts, des deux tangentes à $C_q$ passant
+par $P$.  $\bullet$ Faire une figure sur $\mathbb{R}$ illustrant cette
+construction géométrique dans le cas où les deux droites tangentes à
+$P$ sont réelles (le point est dit « extérieur » à la conique).
+Esquisser une construction, ne faisant intervenir que des
+constructions réelles, dans le cas où les droites sont complexes (le
+point est « intérieur » à la conique).
+
+\smallbreak
+
+\textbf{(12)} Montrer le résultat suivant : si $A_0,A_1,A_2,A_3$ sont
+quatre points distincts situés sur la conique $C_q$, et si on pose
+$P_0 = A_0 A_3 \wedge A_1 A_2$ (c'est-à-dire : l'intersection de la
+droite reliant $A_0$ et $A_3$ et de celle reliant $A_1$ et $A_2$) et
+$P_1 = A_1 A_3 \wedge A_0 A_2$ et $P_2 = A_2 A_3 \wedge A_0 A_1$,
+alors le triangle $P_0, P_1, P_2$ est autopolaire.  Pour cela, on
+pourra expliquer pourquoi on peut supposer que $A_0,A_1,A_2,A_3$ sont
+$(1{:}0{:}0),(0{:}1{:}0),(0{:}0{:}1),(1{:}1{:}1)$ respectivement et
+calculer à la fois les coordonnées de $P_0,P_1,P_2$ et des conditions
+sur les coefficients de $q$.
 
 
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