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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-02-29 18:41:10 +0100
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-02-29 18:41:10 +0100
commitbcfb164aa4d3756151e436f855d94a62647a672c (patch)
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Unfinished proof.
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--- a/notes-accq205.tex
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -763,7 +763,7 @@ de \ref{base-of-compositum}.
\subsection{Bases et degré de transcendance}
-\begin{defn}
+\begin{defn}\label{definition-transcendence-basis}
Si $k\subseteq K$ est une extension de corps, une famille finie
$x_1,\ldots,x_n$ d'éléments de $K$ est dite \textbf{algébriquement
indépendante} (il serait plus logique de dire « collectivement
@@ -1822,6 +1822,29 @@ les résultats suivants :
\end{thm}
+\section{Le Nullstellensatz et les fermés de Zariski}
+
+\subsection{Idéaux maximaux d'anneaux de polynômes}
+
+\begin{prop}
+Soit $k$ un corps algébriquement clos et $k \subseteq K$ une extension
+de corps de type fini. Alors il existe $z_1,\ldots,z_{d+1} \in K$
+tels que $K = k(z_1,\ldots,z_{d+1})$ avec $z_1,\ldots,z_d$
+algébriquement indépendants sur $k$
+(cf. \ref{definition-transcendence-basis}) et $z_{d+1}$ séparable sur
+$k(z_1,\ldots,z_d)$ (cf. \ref{definition-separable-element}).
+\end{prop}
+\begin{proof}
+Supposons $K = k(w_1,\ldots,w_n)$ et soit $d = \degtrans_k(K)$ :
+disons que $w_1,\ldots,w_d$ sont algébriquement indépendants sur $K$
+(cf. \ref{transcendence-basis-facts}(1b)). Alors tout $y \in K$ est
+algébrique sur $k(w_1,\ldots,w_d)$, donc on peut écrire
+$f(w_1,\ldots,w_d,y) = 0$ avec $f \in k(t_1,\ldots,t_d)[y]$
+irréductible, donc, quitte à chasser les dénominateurs, $f \in
+k[t_1,\ldots,t_d,y]$ irréductible. \textcolor{red}{...}
+\end{proof}
+
+
% TODO:
% * Espace projectif, Nullstellensatz, lemme de Zariski.