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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-10 18:46:46 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-10 18:46:46 (GMT)
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Connections between places and points (unfinished).
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--- a/notes-accq205.tex
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -1768,7 +1768,7 @@ où ce polynôme se scinde (parce que $f_2$ s'y scinde). C'est donc que
$x_2 \in k(y)$, et on a expliqué que cela conclut.
\end{proof}
-\begin{cor}
+\begin{cor}\label{finite-separable-extensions-are-monogeneous}
Toute extension finie séparable est monogène. En particulier, toute
extension finie d'un corps parfait est monogène.
\end{cor}
@@ -2359,7 +2359,7 @@ maximalité de $\mathfrak{M}$, cette inclusion est en fait une égalité,
ce qu'on voulait prouver.
\end{proof}
-\begin{prop}[« lemme de Zariski »]\index{Zariski (lemme de)}
+\begin{prop}[« lemme de Zariski »]\index{Zariski (lemme de)}\label{zariski-lemma}
Soit $k$ un corps et $k \subseteq K$ une extension de type fini
\emph{comme $k$-algèbre} (cf. \ref{subalgebra-generated}) : alors $K$
est en fait une extension \emph{finie}
@@ -3376,7 +3376,8 @@ La courbe décrite par cet exemple est ce qu'on appelle généralement
une « conique sans point(s) » (c'est-à-dire : sans point
\emph{rationnel}).
-\thingy Mentionnons encore quelques exemples de courbes rationnelles
+\thingy\label{examples-of-singular-rational-curves}
+Mentionnons encore quelques exemples de courbes rationnelles
données par des fermés de Zariski ayant des points \emph{singuliers}.
On dit qu'un point (à coordonnées dans la clôture algébrique !) du
fermé de Zariski $\{P=0\}$ (avec $P \in k[x,y]$ non constant) est
@@ -5549,7 +5550,7 @@ $\varkappa_P$ contenant $k$, c'est-à-dire une $k$-algèbre de dimension
finie intègre, donc un corps
d'après \ref{finite-integral-algebra-is-a-field}. L'idéal $I +
\mathfrak{p}$ de $k[t_1,\ldots,t_n]$ (abus de notation pour les
-polynômes dont la classe modulo $I$ tombe dans $\mathrak{p}$) a le
+polynômes dont la classe modulo $I$ tombe dans $\mathfrak{p}$) a le
même quotient et il est donc lui aussi maximal. Autrement dit, ceci
définit ce qu'on a appelé un « point fermé » $Z(I + \mathfrak{p})$
de $Z(I)$.
@@ -5568,6 +5569,35 @@ algébriquement clos ; et si $k$ est parfait, on voit donc que le
point fermé défini au paragraphe précédent est l'orbite sous Galois
des points géométriques définis à l'avant-dernier paragraphe.)
+\thingy Il ne faut pas s'attendre à ce que la correspondance entre
+(certaines) places de $C$ et points de $Z(I)$ définie aux paragraphes
+précédents soit bijective : dans l'exemple de la cubique nodale
+décrite en \ref{examples-of-singular-rational-curves}, la courbe est
+rationnelle, c'est-à-dire que c'est $\mathbb{P}^1$, et les deux places
+$\pm 1$ de $\mathbb{P}^1$ correspondent au seul point $(0,0)$
+de $Z(I)$.
+
+Néanmoins, elle est \emph{surjective} : c'est le contenu du
+théorème \ref{existence-of-valuations} qui affirme que pour tout idéal
+maximal $\mathfrak{p}$ de $A = k[t_1,\ldots,t_n]/I$ il existe une
+valuation $v$ sur $K = \Frac(A)$ telle que $A \subseteq \mathcal{O}_v$
+et que $A \cap \mathfrak{m}_v = \mathfrak{p}$. (Notons que $v$ est
+forcément non-triviale puisque $\mathfrak{p} \neq 0$ puisque $A$ n'est
+pas un corps : car s'il l'était on aurait $K = A$ et
+d'après \ref{zariski-lemma} il serait une extension finie de $k$, ce
+qui contredit l'hypothèse $\degtrans_k K = 1$.)
+
+\thingy Il existe cependant des conditions sous lesquelles on peut
+dire qu'il y a une unique place de $C$ qui détermine un point
+de $Z(I)$. Pour donner un exemple simple, considérons $P \in k[x,y]$
+irréductible tel que $P(0,0) = 0$ et que $P'_y(0,0) \neq 0$ en notant
+$P'_y$ la dérivée de $P$ par rapport à sa seconde variable. Si on
+cherche une valuation $v$ de $K := k(\bar x, \bar y : P=0) = k(\bar
+x)[y]/(P)$ qui détermine le point $(0,0)$, c'est-à-dire l'idéal
+$\mathfrak{p}$ engendré par $\bar x$ et $\bar y$, elle doit vérifier
+$a := v(\bar x) > 0$ et $b := v(\bar y) > 0$ ; \textcolor{red}{à
+ finir...}
+
\subsection{Revêtements de courbes}\label{subsection-coverings}