More about algebraic extensions. Transcendence degree.

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--- a/notes-accq205.tex
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -34,6 +34,7 @@
 %
 \newcommand{\id}{\operatorname{id}}
 \newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}
+\newcommand{\degtrans}{\operatorname{deg.tr}}
 %
 \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
 %
@@ -162,6 +163,43 @@ premier mais non maximal puisque $k[x,y]/(y) \cong k[x]$, tandis que
 l'idéal $(x,y)$ (des polynômes s'annulant à l'origine) est maximal
 puisque $k[x,y]/(x,y) \cong k$.
 
+\bigbreak
+
+Le résultat ensembliste suivant sera admis :
+\begin{lem}[principe maximal de Hausdorff]\label{hausdorff-maximal-principle}
+Soit $\mathscr{F}$ un ensemble de parties d'un ensemble $A$.  On
+suppose que $\mathscr{F}$ est non vide et que pour toute partie non
+vide $\mathscr{T}$ de $\mathscr{F}$ totalement ordonnée par
+l'inclusion (c'est-à-dire telle que pour $I,I' \in \mathscr{T}$ on a
+soit $I \subseteq I'$ soit $I \supseteq I'$) la réunion $\bigcup_{I
+  \in \mathscr{T}} I$ soit contenue dans un élément de $\mathscr{F}$.
+Alors il existe dans $\mathscr{F}$ un élément $M$ maximal pour
+l'inclusion (c'est-à-dire que si $I \supseteq M$ avec $I \in
+\mathscr{F}$ alors $I=M$).
+\end{lem}
+
+\begin{prop}\label{existence-maximal-ideals}
+Dans un anneau $A$, tout idéal strict (=autre que $A$) est inclus dans
+un idéal maximal.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+Si $I$ est un idéal strict de $A$, on applique le principe maximal de
+Hausdorff à $\mathscr{F}$ l'ensemble des idéaux stricts de $A$
+contenant $I$.  Si $\mathscr{T}$ est une chaîne (=partie totalement
+ordonnée pour l'inclusion) de tels idéaux, la réunion $\bigcup_{I \in
+  \mathscr{T}} I$ en est encore un\footnote{La réunion de deux idéaux
+  n'est généralement pas un idéal, car si $x\in I$ et $x' \in I'$, la
+  somme $x+x'$ n'a pas de raison d'appartenir à $I\cup I'$.  En
+  revanche, si $\mathscr{T}$ est une famille d'idéaux totalement
+  ordonnée par l'inclusion, alors $\bigcup_{I \in \mathscr{T}} I$ est
+  un idéal : si $x\in I$ et $x' \in I'$, où $I,I'\in \mathscr{T}$, on
+  peut écrire soit $I \subseteq I'$ soit $I'\subseteq I$, et dans un
+  cas comme dans l'autre on a $x+x' \in \bigcup_{I \in \mathscr{T}}
+  I$.} (pour voir que la réunion est encore un idéal strict, remarquer
+que $1$ n'y appartient pas).  Le principe maximal de Hausdorff permet
+de conclure.
+\end{proof}
+
 \thingy Si $A$ est un anneau intègre, on définit un corps $\Frac(A)$,
 dit \textbf{corps des fractions} de $A$, dont les éléments sont les
 symboles formels $\frac{a}{q}$ avec $a \in A$ et $q \in A
@@ -241,6 +279,14 @@ $k$-algèbre de type fini $k[x_1,\ldots,x_n]$ est la même chose qu'un
 \emph{quotient} de l'algèbre de polynômes $k[t_1,\ldots,t_n]$ (par le
 noyau du morphisme d'évaluation).
 
+Pour ce qui est du cas infini : la $k$-algèbre $k[x_i]_{i\in I}$
+engendrée par une famille quelconque $(x_i)_{i\in I}$ d'éléments de
+$A$ est la \emph{réunion} des algèbres $k[x_i]_{i\in J}$ engendrées
+par toutes les sous-familles finies (i.e., $J\subseteq I$ fini) de la
+famille donnée.  (Autrement dit, $y \in A$ appartient à $k[x_i]_{i\in
+  I}$ si et selement si il existe $J\subseteq I$ fini tel que $y$
+appartienne à $k[x_i]_{i\in J}$.)
+
 \thingy Une \textbf{extension de corps} est un morphisme d'anneaux $k
 \to K$ entre corps (c'est-à-dire que $K$ est une $k$-algèbre qui est
 un corps).  Un tel morphisme est automatiquement injectif (car son
@@ -285,6 +331,14 @@ sommes, produits et inverses (d'éléments non nuls).  Autrement dit, ce
 sont les valeurs des fractions rationnelles à coefficients dans $k$
 évalués en des $x_i$ (à condition d'être bien définies).
 
+Pour ce qui est du cas infini : la sous-extension $k(x_i)_{i\in I}$
+engendrée par une famille quelconque $(x_i)_{i\in I}$ d'éléments de
+$K$ est la \emph{réunion} des sous-extensions $k(x_i)_{i\in J}$
+engendrées par toutes les sous-familles finies (i.e., $J\subseteq I$
+fini) de la famille donnée.  (Autrement dit, $y \in K$ appartient à
+$k(x_i)_{i\in I}$ si et selement si il existe $J\subseteq I$ fini tel
+que $y$ appartienne à $k(x_i)_{i\in J}$.)
+
 \subsection{Extensions algébriques et degré}
 
 \thingy\label{monogeneous-extensions-dichotomy} Si $k \subseteq K$ est
@@ -349,7 +403,8 @@ de $k(x) = k[t]/(\mu)$ s'identifie avec $a \in k$).
 
 \thingy Une extension de corps $k\subseteq K$ est dite
 \textbf{algébrique} lorsque chaque élément de $K$ est algébrique
-sur $k$.
+sur $k$.  On dit aussi que $K$ est algébrique « au-dessus de » $k$ ou
+« sur » $k$.
 
 Un corps $k$ est dit \textbf{algébriquement clos} lorsque la seule
 extension algébrique de $k$ est $k$ lui-même : d'après les remarques
@@ -360,7 +415,8 @@ irréductibles dans $k[t]$ sont les $t-a$.
 considérer $K$ comme un $k$-espace vectoriel, et sa dimension (finie
 ou infinie) est notée $[K:k]$ et appelée \textbf{degré} de
 l'extension.  Une extension de degré fini est aussi dite
-\textbf{finie}.
+\textbf{finie}.  Il va de soi qu'une sous-extension d'une extension
+finie est encore finie.
 
 Il résulte de l'identification de $k(x)$ à $k[t]/(\mu_x)$ que, si $x$
 est un élément algébrique sur $k$, alors $[k(x):k]$ est fini et égal
@@ -371,29 +427,63 @@ montré que : \emph{l'extension monogène $k\subseteq k(x)$ est finie si
 
 \thingy On aura également besoin du fait que si $k \subseteq K
 \subseteq L$ sont deux extensions imbriquées alors
-$[L:k] = [K:k] \, [L:K]$ (au sens où le membre de gauche est fini si et
-seulement si les deux facteurs du membre de droite le sont, et dans ce
-cas leur produit lui est égal).  Cela résulte du fait plus précis que
-si $(x_\iota)_{\iota\in I}$ est une $k$-base de $K$ et
-$(y_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ une $K$-base de $L$, alors $(x_\iota
-y_\lambda)_{(\iota,\lambda)\in I\times\Lambda}$ est une $k$-base
-de $L$ (vérification aisée).
+$[L:k] = [K:k] \, [L:K]$ (au sens où le membre de gauche est fini si
+et seulement si les deux facteurs du membre de droite le sont, et dans
+ce cas leur produit lui est égal).  Cela résulte du fait plus précis
+que si $(x_i)_{i\in I}$ est une $k$-base de $K$ et $(y_j)_{j\in J}$
+une $K$-base de $L$, alors $(x_i y_j)_{(i,j)\in I\times J}$ est une
+$k$-base de $L$ (vérification aisée).
 
-\thingy Les deux faits suivants sont à noter :
+\thingy\label{basic-facts-algebraic-extensions} Les faits suivants sont à noter :
 
-Une extension de corps engendrée par un nombre fini d'éléments
+(1) Une extension de corps engendrée par un nombre fini d'éléments
 algébriques est finie (en effet, si $x_1,\ldots,x_n$ sont algébriques
 sur $k$, alors chaque extension $k(x_1,\ldots,x_{i-1}) \subseteq
 k(x_1,\ldots,x_i)$ est monogène algébrique, donc finie, donc leur
 composée est fini).
 
-Une extension $k\subseteq K$ est finie si et seulement si elle est à
-la fois algébrique et de type fini.  (Le sens « si » résulte de
-l'affirmation précédente ; pour le sens « seulement si », remarquer
-que pour tout $x\in K$, l'extension $k\subseteq k(x)$ est finie donc
+(2) Une extension $k\subseteq K$ est finie si et seulement si elle est
+à la fois algébrique et de type fini.  (Le sens « si » résulte de
+l'affirmation (1) ; pour le sens « seulement si », remarquer que pour
+tout $x\in K$, l'extension $k\subseteq k(x)$ est finie donc
 algébrique, et qu'une base de $K$ comme $k$-espace vectoriel engendre
 certainement $K$ comme extension de corps de $k$.)
 
+(3) Une extension de corps engendrée par une famille quelconque
+d'éléments algébriques est algébrique (en effet, si $K = k(x_i)_{i\in
+  I}$ et $y \in K$, alors, cf. \ref{subfield-generated-is-quotients},
+$y$ appartient à $k(x_i)_{i\in J}$ pour une sous-famille finie des
+$x_i$, et d'après le (1), cette extension est finie sur $k$ donc
+$k(y)$ l'est, c'est-à-dire que $y$ est algébrique sur $k$).
+Concrètement, donc, les sommes, différences, produits et inverses de
+quantités algébriques sur $k$ sont algébriques sur $k$.
+
+(4) Si $k\subseteq K$ et $K\subseteq L$ sont algébriques alors
+$k\subseteq L$ l'est (en effet, si $y \in L$, et si $x_1,\ldots,x_n
+\in K$ sont les coefficients du polynôme minimal de $y$ sur $L$, alors
+$y$ est algébrique sur $k(x_1,\ldots,x_n)$, qui est une extension
+finie de $k$ d'après (1), donc $k(x_1,\ldots,x_n,y)$ est une extension
+finie de $k(x_1,\ldots,x_n)$ donc de $k$, donc $k(y)$ est une
+extension finie de $k$, donc $y$ est algébrique sur $k$).
+
+\thingy L'observation (3) ci-dessus entraîne que si $k\subseteq K$ est
+une extension de corps, l'extension de $k$ engendrée par tous les
+éléments de $K$ algébriques sur $k$ est tout simplement
+l'\emph{ensemble} de tous les éléments de $K$ algébriques sur $k$,
+c'est-à-dire que cet ensemble est un corps, qui est manifestement la
+plus grande extension intermédiaire algébrique sur $k$ : on l'appelle
+la \textbf{fermeture algébrique} de $k$ dans $K$ (la précision
+« dans $K$ » est importante).
+
+Si c'est précisément $k$, on dit que $k$ est \textbf{algébriquement
+  fermé} dans $K$ : autrement dit, cela signifie que tout élément
+de $K$ est soit transcendant sur $k$ soit élément de $k$ (=algébrique
+de degré $1$).  Un corps algébriquement clos est algébriquement fermé
+dans toute extension, mais un corps peut être algébriquement fermé
+dans une extension sans pour autant être algébriquement clos (par
+exemple $\mathbb{Q}$ dans le corps $\mathbb{Q}(t)$ des fractions
+rationnelles).
+
 
 \subsection{Bases et degré de transcendance}
 
@@ -401,22 +491,24 @@ certainement $K$ comme extension de corps de $k$.)
 Si $k\subseteq K$ est une extension de corps, une famille finie
 $x_1,\ldots,x_n$ d'éléments de $K$ est dite \textbf{algébriquement
   indépendante} (il serait plus logique de dire « collectivement
-transcendante ») lorsque le seul polynôme $P \in k[t_1,\ldots,t_n]$ à
-coefficients dans $k$ et tel que $P(x_1,\ldots,x_n) = 0$ est le
-polynôme nul, autrement dit, lorsque le morphisme « d'évaluation »
-$k[t_1,\ldots,t_n] \to K$ (avec $k[t_1,\ldots,t_n]$ l'anneau des
-polynômes en $n$ indéterminées) envoyant $P$ sur $P(x_1,\ldots,x_n)$
-est injectif.  En particulier, chacun des $x_i$ est transcendant
-sur $k$.
+  transcendante ») sur $k$ lorsque le seul polynôme $P \in
+k[t_1,\ldots,t_n]$ à coefficients dans $k$ et tel que
+$P(x_1,\ldots,x_n) = 0$ est le polynôme nul, autrement dit, lorsque le
+morphisme « d'évaluation » $k[t_1,\ldots,t_n] \to K$ (avec
+$k[t_1,\ldots,t_n]$ l'anneau des polynômes en $n$ indéterminées)
+envoyant $P$ sur $P(x_1,\ldots,x_n)$ est injectif.  En particulier,
+chacun des $x_i$ est transcendant sur $k$ ; et un unique élément $x$
+de $K$ est algébriquement indépendant sur $k$ si et seulement si il
+est transcendant sur $k$.
 
 On dit d'une famille infinie $(x_i)$ d'éléments de $K$ qu'elle est
-algébriquement indépendante lorsque toute sous-famille finie d'entre
-eux l'est.
+algébriquement indépendante sur $k$ lorsque toute sous-famille finie
+d'entre eux l'est.
 
 Une famille $(x_i)$ d'éléments de $K$ est appelée \textbf{base de
   transcendance} de $K$ sur $k$ lorsqu'elle est algébriquement
-indépendante est $K$ est une extension algébrique de l'extension
-$k(x_i)$ de $k$ engendrée par les $x_i$.
+indépendante sur $k$ et que $K$ est algébrique au-dessus de
+l'extension $k(x_i)$ de $k$ engendrée par les $x_i$.
 \end{defn}
 
 \thingy Il est trivialement le cas que $t_1,\ldots,t_n$ sont
@@ -462,6 +554,120 @@ Si $x_i$ est une base de transcendance de $K$ sur $k$, celle-ci
 \subseteq k(x_i)$ est transcendante pure, et l'extension $k(x_i)
 \subseteq K$ est algébrique.
 
+\begin{prop}\label{transcendence-basis-facts}
+Soit $k \subseteq K$ une extension de corps.
+
+(1a) Toute famille algébriquement indépendante sur $k$ d'éléments
+de $K$ se complète en une base de transcendance de $K$ sur $k$.  (Ceci
+s'applique notamment à la famille vide, donc il existe toujours une
+base de transcendance de $K$ sur $k$.)  (1b) De toute famille qui
+engendre $K$ en tant qu'extension de corps de $k$ (ou même : qui
+engendre un corps intermédiaire $E$ au-dessus duquel $K$ est
+algébrique) on peut extraire une base de transcendance.
+
+(2) \textit{Lemme d'échange :} Si $z_1,\ldots,z_n$ est une base de
+transcendance finie de $K$ sur $k$ et $t$ un élément de $K$ tel que
+$z_1,\ldots,z_\ell,t$ soient algébriquement indépendants sur $k$ (pour
+un certain $\ell$, qui peut être $0$), alors il existe $j$ entre
+$\ell+1$ et $n$ tel qu'en remplaçant $z_j$ par $t$ dans la base de
+transcendance $z_1,\ldots,z_n$ on obtienne encore une base de
+transcendance.
+
+(3) Deux bases de transcendance de $K$ sur $k$ ont toujours le même
+cardinal.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+(1a) Le principe de maximalité de
+  Hausdorff (\ref{hausdorff-maximal-principle}, appliqué à l'ensemble
+  $\mathscr{F}$ des familles algébriquement indépendantes sur $k$)
+  montre que toute famille algébriquement indépendante est contenue
+  dans une famille algébriquement indépendante maximale.  Montrons
+  qu'une telle famille est une base de transcendance : si $(x_i)_{i\in
+    I}$ est une famille algébriquement indépendante maximale, on veut
+  donc prouver que $K$ est algébrique sur $k(x_i)_{i\in I}$ ; pour
+  cela, soit $t \in K$, on veut montrer qu'il n'est pas transcendant
+  sur $k(x_i)_{i\in I}$.  Mais s'il l'est, on observe que la famille
+  obtenue en rajoutant $t$ à la famille $(x_i)_{i \in I}$ est encore
+  algébriquement indépendante : en effet, si on avait un polynôme
+  $P(t,(x_i))$ qui l'annulât, en considérant $P$ comme polynôme de la
+  seule variable $t$ (dont il dépend effectivement, sinon il donnerait
+  une relation de dépendance algébrique entre les $x_i$, chose qui
+  n'existe pas) on contredirait la transcendance de $t$ sur
+  $k(x_i)_{i\in I}$.  Par maximalité de $(x_i)_{i\in I}$, ceci ne peut
+  pas se produire : donc $K$ est bien algébrique sur $k(x_i)_{i\in I}$
+  et $(x_i)_{i\in I}$ est une base de transcendance.
+
+(1b) Soit maintenant $(x_i)_{i\in J}$ une famille génératrice (i.e.,
+  $K = k(x_i)_{i \in J}$) ou telle que $K$ soit algébrique sur $E =
+  k(x_i)_{i \in J}$ : soit $I$ une partie maximale de $J$ telle que
+  $(x_i)_{i\in I}$ soit algébriquement indépendante (de nouveau on
+  utilise le principe de maximalité), et on va montrer qu'il s'agit
+  d'une base de transcendance.  Si ce n'est pas le cas, l'extension
+  $K$ de $k(x_i)_{i\in I}$ n'est pas algébrique, donc
+  (cf. \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(3)) elle ne peut pas
+  être engendrée uniquement par des éléments algébriques, autrement
+  dit il existe $j\in J$ (et évidemment $j\not\in I$) tel que $x_j$
+  soit transcendant sur $k(x_i)_{i\in I}$, et par ce qu'on vient
+  d'expliquer la famille obtenue en rajoutant $j$ à $I$ contredit la
+  maximalité de $I$.
+
+(2) Soit $z_1,\ldots,z_n$ une base de transcendance (finie) et $t \in
+  K$ tel que $z_1,\ldots,z_\ell,t$ soient algébriquement indépendants.
+  Puisque $t \in K$ est algébrique sur $k(z_1,\ldots,z_n)$, on peut
+  trouver une relation de dépendance algébrique $P(t,z_1,\ldots,z_n) =
+  0$ ; comme $z_1,\ldots,z_\ell,t$ sont algébriquement indépendants
+  par hypothèse, le polynôme $P$ ne peut pas dépendre que de ces
+  variables, donc il doit faire intervenir $z_j$ pour un certain $j$
+  entre $\ell+1$ et $n$.  Soit $z'_i$ défini par $z'_i = z_i$ si
+  $i\neq j$ et $z'_j = t$.  La relation $P(t,z_1,\ldots,z_n) = 0$, ou,
+  quitte à échanger deux variables, $\hat P(z_j,z'_1,\ldots,z'_n) =
+  0$, se lit aussi comme affirmant que $z_j$ est algébrique sur
+  $k(z'_1,\ldots,z'_n)$ : il s'ensuit que $K$ est algébrique sur
+  $k(z'_1,\ldots,z'_n)$ (puisqu'il est algébrique sur
+  $k(z_1,\ldots,z_n)$ et qu'on vient de voir que ce dernier est
+  algébrique sur $k(z'_1,\ldots,z'_n)$,
+  cf. \ref{basic-facts-algebraic-extensions} (3) et (4)).  D'autre
+  part, les $z'_i$ sont algébriquement indépendants : car s'ils ne
+  l'étaient pas, comme les $z_1,\ldots,z_n$ le sont, une relation
+  $Q(z'_1,\ldots,z'_n)=0$ ferait intervenir $z'_j = t$, c'est-à-dire
+  que $t$ serait algébrique sur les autres $z'_i$, donc $z_j$ serait
+  algébrique sur les $z'_i = z_i$ pour $i \neq j$ (vu qu'on sait déjà
+  qu'il est algébrique sur tous les $z'_i$), or par hypothèse ce n'est
+  pas le cas.  On a bien prouvé que les $z'_i$ forment une base de
+  transcendance de $K$ sur $k$.
+
+(3) Tout d'abord, s'il existe une base de transcendance finie
+  $z_1,\ldots,z_n$, alors toute famille algébriquement indépendante
+  $x_1,\ldots,x_{n'}$ vérifie $n' \leq n$.  En effet, si $n'>n$, le
+  lemme d'échange permet de remplacer un des $z_i$, mettons $z_1$, par
+  $x_1$, puis un des $z_i$ autre que $z_1$, mettons $z_2$, par $x_2$,
+  et ainsi de suite, toujours en obtenant des bases de transcendance.
+  Finalement, on voit que $x_1,\ldots,x_n$ est une base de
+  transcendance, contredisant le fait supposé que les $x_i$ pour
+  $n<i\leq n'$ sont encore transcendants dessus.  (Ici, on a supposé
+  la famille $x_1,\ldots,x_{n'}$ finie, mais de façon générale on voit
+  que toute sous-famille finie d'une famille algébriquement
+  indépendante doit avoir au plus $n$ éléments donc toute famille
+  algébriquement indépendante est finie.)
+
+Enfin, si on a une base de transcendance infinie $(x_i)_{i\in I}$,
+d'après ce qu'on vient de voir, toute autre base de transcendance
+$(y_j)_{j\in J}$ est également infinie ; par ailleurs, tout élément
+$y_j$ de $K$ est algébrique sur le sous-corps engendré par une
+sous-famille \emph{finie} des $x_i$, donc on a une application de $J$
+vers les parties finies de $I$ telle que l'image réciproque d'une
+partie finie donnée de $I$ soit finie, et ceci prouve bien que $I$ et
+$J$ ont même cardinal (en utilisant le fait que, pour $I$ infini, $I$
+est équipotent à l'ensemble de ses parties finies).
+\end{proof}
+
+\begin{defn}
+Si $k \subseteq K$ est une extension de corps, le cardinal d'une base
+de transcendance de $K$ sur $k$ (dont on vient de montrer qu'il ne
+dépend pas du choix de celle-ci) s'appelle \textbf{degré de
+  transcendance} de $K$ sur $k$ et se note $\degtrans_k(K)$.
+\end{defn}
+
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