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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2018-04-08 19:58:52 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2018-04-08 19:58:52 (GMT)
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tree7773de7089c54524b845a342ad702dea2eea8786 /controle-20180411.tex
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index 99f8639..cf8b863 100644
--- a/controle-20180411.tex
+++ b/controle-20180411.tex
@@ -145,15 +145,17 @@ dans $\mathbb{A}^2$.
(2a) Quelle est l'équation (homogène) de la courbe $C$, ou plus
exactement de son adhérence de Zariski $\overline{C}$,
-dans $\mathbb{P}^2$ ? Identifier le ou les point(s) à l'infini
+dans $\mathbb{P}^2$ ? Identifier le ou les point(s) « à l'infini »
de $\overline{C}$, c'est-à-dire son ou ses point(s) vérifiant $T=0$.
(2b) Les ensembles $D_X := \{X\neq 0\}$ et $D_Y := \{Y\neq 0\}$ sont
aussi identifiables à des plans affines (ou « cartes affines ») :
quelles sont les équations affines de $\overline{C} \cap D_X$ et de
$\overline{C} \cap D_Y$ (de la même manière que l'équation de $C =
-\overline{C} \cap D_T$ est $y^2 = x^3 - x$) ? Sur le corps des réels,
-représenter l'allure de la courbe dans chacune de ces cartes affines.
+\overline{C} \cap D_T$ est $y^2 = x^3 - x$) ? (2c) Sur le corps des
+réels, représenter l'allure de la courbe dans chacune de ces cartes
+affines. Donner quelques exemples de points qui se correspondent sur
+chacun des dessins.
\centerline{\hbox to3truecm{\hrulefill}}
@@ -187,10 +189,10 @@ en l'indéterminée $y$ à coefficients dans le corps $k(x)$ des
fractions rationnelles en une indéterminée $x$.
(4) (a) Expliquer pourquoi $x^3 - x \in k(x)$ n'est pas le carré d'un
-polynôme (= élément de $k[x]$).\quad (b) En déduire que $x^3 - x$
-n'est pas le carré d'un élément de $k(x)$.\quad (c) En déduire que $h
-= y^2 - x^3 + x$ est irréductible en tant que polynôme sur $k(x)$ en
-l'indéterminée $y$.\quad (d) En déduire que l'anneau $K :=
+polynôme en $x$ (= élément de $k[x]$).\quad (b) En déduire que $x^3 -
+x$ n'est pas le carré d'un élément de $k(x)$.\quad (c) En déduire que
+$h = y^2 - x^3 + x$ est irréductible en tant que polynôme sur $k(x)$
+en l'indéterminée $y$.\quad (d) En déduire que l'anneau $K :=
k(x)[y]/(h)$ quotient de $k(x)[y]$ par l'idéal engendré par $h$ est un
\emph{corps}.