diff options
author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2016-02-09 18:00:54 +0100 |
---|---|---|
committer | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2016-02-09 18:00:54 +0100 |
commit | 4a017697736249c3040713da63f6ae1a80c675ba (patch) | |
tree | 656e4f6cfec35db32049b99ef06947b476c98844 /notes-accq205.tex | |
parent | 364e48a9ac4d9c37aaa07af779538446239d3cd0 (diff) | |
download | accq205-4a017697736249c3040713da63f6ae1a80c675ba.tar.gz accq205-4a017697736249c3040713da63f6ae1a80c675ba.tar.bz2 accq205-4a017697736249c3040713da63f6ae1a80c675ba.zip |
Start talking about transcendence bases.
Diffstat (limited to 'notes-accq205.tex')
-rw-r--r-- | notes-accq205.tex | 104 |
1 files changed, 99 insertions, 5 deletions
diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 0f8e4c8..4471a5d 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -76,7 +76,7 @@ Git: \input{vcline.tex} \section{Corps et extensions de corps} -\subsection{Extensions algébriques et transcendantes} +\subsection{Extensions algébriques et degré} \thingy On rappelle qu'un \textbf{corps} est un anneau (sous-entendu : commutatif) $k$ dans lequel l'ensemble $k^\times$ des éléments @@ -90,10 +90,21 @@ aussi que $k$ est un sous-corps de $K$. \thingy Si $k \subseteq K$ est une extension de corps et $x\in K$, on note $k(x)$ l'extension de $k$ engendrée par $x$, c'est-à-dire le plus -petit sous-corps de $K$ contenant $k$ et $x$ (i.e., l'intersection de +petit sous-corps de $K$ contenant $k$ et $x$, i.e., l'intersection de tous les sous-corps de $K$ contenant $k$ et $x$, qui vérifie elle-même -cette propriété). On dira aussi que $k \subseteq k(x)$ est une -extension \textbf{monogène}. +cette propriété ; c'est encore le corps formé de tous les éléments de +$K$ obtenus à partir de $x$ et de ceux de $k$ par sommes, différences, +produits et quotients, c'est-à-dire le corps formé des valeurs en $x$ +de toutes les fractions rationnelles à une indéterminée sur $k$ qui +sont bien définies en $x$. On dira aussi que $k \subseteq k(x)$ est +une extension \textbf{monogène}. + +Plus généralement, si $x_i$ sont des éléments de $K$, on notera +$k(x_i)$ (par exemple $k(x_1,\ldots,x_n)$ s'ils sont en nombre fini) +l'extension de $k$ engendrée par eux, c'est-à-dire le plus petit +sous-corps de $K$ contenant les $x_i$. Une extension $k \subseteq +k(x_1,\ldots,x_n)$ engendrée par un nombre fini d'éléments est dite +\textbf{de type fini}. \danger On prendra garde au fait que la même notation $k(x)$ peut désigner soit l'extension de $k$ engendrée par $x$ dans un corps $K$ @@ -106,7 +117,8 @@ apparaît : si aucune remarque n'est faite, il est généralement sous-entendu que $x$ est une indéterminée. La même remarque vaut, \textit{mutatis mutandis}, pour $k[x]$, qui peut désigner la plus petite $k$-algèbre engendrée par $x$ ou bien l'anneau des polynômes en -une indéterminée $x$ sur $k$. +une indéterminée $x$ sur $k$. Mêmes remarques pour +$k(x_1,\ldots,x_n)$ et $k[x_1,\ldots,x_n]$. \thingy Si $k \subseteq K$ est une extension de corps et $x\in K$, il existe un unique morphisme $\varphi\colon k[t] \to K$ (où $k[t]$ est @@ -183,6 +195,88 @@ du membre de droite le sont, et dans ce cas leur produit lui est $K$-base de $L$, alors $(x_\iota y_\lambda)_{(\iota,\lambda)\in I\times\Lambda}$ est une $k$-base de $L$ (vérification aisée). +\thingy Les deux faits suivants sont à noter : + +Une extension de corps engendrée par un nombre fini d'éléments +algébriques est finie (en effet, si $x_1,\ldots,x_n$ sont algébriques +sur $k$, alors chaque extension $k(x_1,\ldots,x_{i-1}) \subseteq +k(x_1,\ldots,x_i)$ est monogène algébrique, donc finie, donc leur +composée est fini). + +Une extension $k\subseteq K$ est finie si et seulement si elle est à +la fois algébrique et de type fini. (Le sens « si » résulte de +l'affirmation précédente ; pour le sens « seulement si », remarquer +que pour tout $x\in K$, l'extension $k\subseteq k(x)$ est finie donc +algébrique, et qu'une base de $K$ comme $k$-espace vectoriel engendre +certainement $K$ comme extension de corps de $k$.) + + +\subsection{Bases et degré de transcendance} + +\begin{defn} +Si $k\subseteq K$ est une extension de corps, une famille finie +$x_1,\ldots,x_n$ d'éléments de $K$ est dite \textbf{algébriquement + indépendante} (il serait plus logique de dire « collectivement + transcendante ») lorsque le seul polynôme $P \in k[t_1,\ldots,t_n]$ +à coefficients dans $k$ et tel que $P(x_1,\ldots,x_n) = 0$ est le +polynôme nul, autrement dit, lorsque l'unique morphisme +$k[t_1,\ldots,t_n] \to K$ (avec $k[t_1,\ldots,t_n]$ l'anneau des +polynômes en $n$ indéterminées) envoyant $P$ sur $P(x_1,\ldots,x_n)$ +est injectif. En particulier, chacun des $x_i$ est transcendant +sur $k$. + +On dit d'une famille infinie $(x_i)$ d'éléments de $K$ qu'elle est +algébriquement indépendante lorsque toute sous-famille finie d'entre +eux l'est. + +Une famille $(x_i)$ d'éléments de $K$ est appelée \textbf{base de + transcendance} de $K$ sur $k$ lorsqu'elle est algébriquement +indépendante est $K$ est une extension algébrique de l'extension +$k(x_i)$ de $k$ engendrée par les $x_i$. +\end{defn} + +\thingy Il est trivialement le cas que $t_1,\ldots,t_n$ sont +algébriquement indépendants si $t_1,\ldots,t_n$ sont des +indéterminées, c'est-à-dire, si $k(t_1,\ldots,t_n)$ est le corps des +fractions rationnelles en $n$ indéterminées. Réciproquement, si +$x_1,\ldots,x_n$ sont algébriquement indépendants, alors +$k(x_1,\ldots,x_n)$ s'identifie au corps des fractions rationnelles en +$n$ indéterminées comme dans le cas $n=1$ déjà vu ci-dessus (en +envoyant $P/Q$, avec $P,Q\in k[t_1,\ldots,t_n]$ et $Q\neq 0$, sur +$P(x_1,\ldots,x_n)/Q(x_1,\ldots,x_n)$). + +(On peut encore dire la même chose pour un nombre infini de $x_i$, à +condition de définir le corps des fractions rationnelles en un nombre +infini d'indéterminées, comme « réunion », techniquement la limite +inductive, des corps de fractions rationnelles sur une sous-famille +finie quelconque d'entre elles.) + +\thingy Lorsque les $(x_i)$ sont algébriquement indépendants, on dit +aussi que l'extension $k \subseteq k(x_i)$ est \textbf{transcendante + pure} : autrement dit, une extension transcendante pure est un corps +de fractions rationnelles en un nombre quelconque (peut-être infini, +cf. ci-dessus) de variables. + +La question de déterminer si une extension de corps est transcendante +pure peut être extrêmement difficile ; à titre d'exemple, le corps +$\mathbb{R}(x,y : x^2+y^2-1)$ des fractions de +$\mathbb{R}[x,y]/(x^2+y^2-1)$ est une extension transcendante pure de +$\mathbb{R}$, car il est en fait isomorphe à $\mathbb{R}(t)$ où $t = +\frac{y}{x+1}$ (de réciproque $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ et $y = +\frac{2t}{1+t^2}$) : on reviendra sur cet exemple. + +Certains auteurs disent parfois par abus de langage (ces notes +tâcheront de l'éviter) que $k \subseteq k(x_1,\ldots,x_n)$ est +transcendante pure pour dire en fait que les $x_1,\ldots,x_n$ sont +algébriquement indépendants. L'exemple ci-dessus montre que c'est +abusif ; cependant, on verra que ce ne l'est plus si on sait que le +degré de transcendance est bien $n$. + +Si $x_i$ est une base de transcendance de $K$ sur $k$, celle-ci +« décompose » l'extension $k \subseteq K$ en deux : l'extension $k +\subseteq k(x_i)$ est transcendante pure, et l'extension $k(x_i) +\subseteq K$ est algébrique. + % % % |