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path: root/notes-accq205.tex
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-02-28 00:52:15 +0100
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-02-28 00:52:15 +0100
commitecfa39c6c9b204322ddc5af90b41ca3eec7aff1c (patch)
tree3ec67623e5679d76f22240cde5ac5c502b36490a /notes-accq205.tex
parent8c38065307b403165ee6f2f37afb7083848a716c (diff)
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A counterexample.
Diffstat (limited to 'notes-accq205.tex')
-rw-r--r--notes-accq205.tex16
1 files changed, 16 insertions, 0 deletions
diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex
index 7447025..a6cc066 100644
--- a/notes-accq205.tex
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -1434,6 +1434,22 @@ d'$, l'inégalité dans le sens contraire étant évidente on a $\deg(y^p)
= \deg(y)$ et $y$ est séparable.
\end{proof}
+\thingy L'hypothèse « finie » est essentielle
+dans \ref{linear-criterion-for-separable-algebraic-extensions}, et ne
+peut pas être remplacée par « algébrique » : un contre-exemple est
+fourni par $k = \mathbb{F}_p(t)$ et pour $K$ la réunion des
+$\mathbb{F}_p(t^{1/p^i})$ pour $i\in\mathbb{N}$ (chaque
+$\mathbb{F}_p(t^{1/p^i})$ est un corps de fractions rationnelles à une
+indéterminée $t^{1/p^i}$, plongé dans les suivants en identifiant
+$t^{1/p^i}$ à $(t^{1/p^j})^{p^{j-i}}$ si $j\geq i$ : on dit que $K$
+est la « clôture parfaite » de $k$, on l'obtient en prenant toutes les
+racines $p^i$-ièmes des éléments de $k$). Alors $k \subseteq K$ est
+une extension algébrique ; et $K$ est un corps parfait
+(cf. \ref{definition-perfect-field}), c'est-à-dire que $K^p = K$ (on
+l'a construit exprès pour), et a fortiori $K^p$ engendre $K$ comme
+$k$-espace vectoriel : pourtant, l'extension $k \subseteq K$ n'est
+aucunement séparable (elle est même « purement inséparable »).
+
\begin{prop}\label{tower-of-finite-separable-extensions}
Soit $k \subseteq K$ une extension de corps. Si $x_1,\ldots,x_n$ sont
des éléments de $K$ tels que $x_i$ est algébrique séparable sur