summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/notes-accq205.tex
diff options
context:
space:
mode:
authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-03-21 14:01:56 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-03-21 14:01:56 (GMT)
commit5a9dde0ecf8b627a45af678c19ff3b7254e86089 (patch)
treed18aa490c22c7c529c5f55083cdaeb847fe4d0b3 /notes-accq205.tex
parentc7b384d625005d8cb4d0a5733acff7a0dabfba5f (diff)
downloadaccq205-5a9dde0ecf8b627a45af678c19ff3b7254e86089.zip
accq205-5a9dde0ecf8b627a45af678c19ff3b7254e86089.tar.gz
accq205-5a9dde0ecf8b627a45af678c19ff3b7254e86089.tar.bz2
Prepare discussion of places.
Diffstat (limited to 'notes-accq205.tex')
-rw-r--r--notes-accq205.tex21
1 files changed, 21 insertions, 0 deletions
diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex
index fb498a2..221e91d 100644
--- a/notes-accq205.tex
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -3042,6 +3042,24 @@ de la fraction rationnelle $f(\frac{1}{t})$ en $0$ ; sur les réels ou
les complexes, c'est simplement la limite de $f$ en $\infty$ ou bien
$\infty$ si $f$ n'est pas borné).
+Rappelons que tout élément non nul de $k(t)$ possède une écriture
+unique sous la forme $c \prod_{h \in \mathscr{P}} h(t)^{v_h}$ où $c
+\in k^\times$, les $v_h$ sont des entiers (relatifs) tous nuls sauf un
+nombre fini, et $\mathscr{P}$ est l'ensemble des polynômes unitaires
+irréductibles dans $k[t]$. Si $k$ est \emph{parfait}, tout $h \in
+\mathscr{P}$ peut encore s'écrire sous la forme $\prod_{\xi \in M}
+(t-\xi)$ où $M$ est une orbite de $k$ sous $\Gamma_k := \Gal(k
+\subseteq k^{\alg})$ (puisque deux éléments de $k$ sont conjugués si
+et seulement si ils sont dans la même orbite sous $\Gamma_k$,
+notamment d'après \ref{existence-uniqueness-decomposition-field}(2b)).
+On peut donc écrire tout élément non nul de $k(t)$ de façon unique
+sous la forme $c \prod_{\xi \in k^{\alg}} (t-\xi)^{v_\xi}$ où $c \in
+k^\times$, les $v_\xi$ sont des entiers (relatifs) tous nuls sauf un
+nombre fini, et $v_\xi$ est invariant sous $\Gamma_k$ (i.e.,
+$v_{\sigma(\xi)} = v_\xi$ pour tout $\sigma\in\Gamma_k$ et $\xi \in
+k^{\alg}$). Un des thèmes de ce qui va suivre est de généraliser ce
+type d'écriture au corps des fonctions d'une courbe quelconque.
+
\thingy Si $P \in k[x,y]$ est un polynôme irréductible en deux
indéterminées $x,y$ et faisant effectivement intervenir $y$, on peut
le voir comme un élément de $k(x)[y]$, qui est encore irréductible
@@ -3417,6 +3435,9 @@ peuvent pas être représentées comme des courbes planes
non-singulières).
+% \subsection{Places}\label{subsection-places-of-function-fields}
+
+
% TODO: