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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-02 23:45:00 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-02 23:45:00 (GMT)
commit69fdd7b62b27db59cd1b936c3cfb9e9c6e3e9aa1 (patch)
tree117f0565ec15d37cac7032de10a0f48545a52f73 /notes-accq205.tex
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Divisors on a curve.
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index 5768c06..a067e81 100644
--- a/notes-accq205.tex
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -46,6 +46,9 @@
\newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}
\newcommand{\Fix}{\operatorname{Fix}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
+\newcommand{\Divis}{\operatorname{Div}}
+\newcommand{\divis}{\operatorname{div}}
+\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}
%
\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
%
@@ -3852,10 +3855,10 @@ Une valuation non-triviale au-dessus de $k$ sur un corps $K$ de
fonctions sur $k$ comme en \ref{definition-function-field} s'appelle
une \defin{place} (ou, s'il faut être plus explicite, une $k$-place)
de $K$. (Cette terminologie est essentiellement utilisée pour le
-corps des fonctions d'une courbe, i.e., en degré de
-transcendance $1$.) On notera parfois $\mathscr{V}_K$ (ou, s'il faut
-être plus explicite, $\mathscr{V}_{K/k}$) l'ensemble des $k$-places
-de $K$
+corps des fonctions d'une courbe $K = k(C)$, i.e., en degré de
+transcendance $1$, auquel cas on peut indifféremment parler de places
+de $C$.) On notera parfois $\mathscr{V}_K$ (ou, s'il faut être plus
+explicite, $\mathscr{V}_{K/k}$) l'ensemble des $k$-places de $K$.
\begin{prop}\label{existence-of-valuations}
Soit $K$ un corps, soit $A \subseteq K$ un sous-anneau et soit
@@ -4622,6 +4625,66 @@ pôles, il suffit de remplacer $x$ par $x^{-1}$.
\end{proof}
+\subsection{Diviseurs sur les courbes}\label{subsection-divisors-on-curves}
+
+\begin{defn}
+Soit $K = k(C)$ un corps de fonction de courbe sur $k$. Un
+\defin{diviseur} sur la courbe $C$ est une combinaison linéaire
+formelle à coefficients entiers de $k$-places de $K$ : autrement dit,
+le groupe $\Divis(C)$ est défini comme le groupe abélien libre
+$\bigoplus_{P\in\mathscr{V}_{K/k}} \mathbb{Z}$ de base l'ensemble
+$\mathscr{V}_{K/k}$ des places de $C$. On notera $\sum_P n_P (P)$ une
+telle combinaison (où $P$ parcourt les places de $C$ et les $n_P$ sont
+des entiers relatifs tous nuls sauf un nombre fini).
+
+Le \defin[degré (d'un diviseur)]{degré} d'un diviseur $D = \sum_P n_P
+\cdot (P)$ est défini comme $\deg(D) := \sum_P n_P \deg(P)$ où
+$\deg(P)$ est le degré de la place $P$ (cf. \ref{degree-of-a-place}).
+On notera $\Divis^0(C)$ le sous-groupe des diviseurs de degré zéro
+(i.e., le noyau de $\deg$).
+\end{defn}
+
+\begin{defn}
+Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, et si $f \in
+K$ est non constante, on appelle respectivement \textbf{diviseur des
+ zéros}, \textbf{diviseur des pôles} et \defin[principal
+ (diviseur)]{diviseur principal} associés à la fonction $f$ les
+diviseurs
+\begin{align*}
+f^*((0)) &:= \sum_{P\;:\;v_P(f) > 0} v_P(f)\cdot (P)\\
+f^*((\infty)) &:= \sum_{P\;:\;v_P(f) < 0} -v_P(f)\cdot (P)\\
+\divis(f) := f^*((0)-(\infty)) &= \sum_{P\in C} v_P(f)\cdot (P)\\
+\end{align*}
+où $v_P$ est la valuation correspondant à la place $P$.
+\end{defn}
+
+\thingy Le théorème \ref{degree-identity} affirme que le degré du
+diviseur des zéros $f^*((0))$ ou du diviseur des pôles $f^*((\infty))$
+de $f$ est égal au degré de l'extension $k(f) \subseteq K$, qu'on peut
+appeler simplement « degré » de $f$. Le degré du diviseur principal
+$\divis(f)$, qui est égal au degré du diviseur des zéros moins le
+diviseur des pôles, est donc nul : $\divis(f) \in \Divis(C)^0$.
+
+Il faut souligner que $\divis(fg) = \divis(f) + \divis(g)$ d'après la
+propriété \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(i) des
+valuations.
+
+\begin{defn}
+Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, on appelle
+\defin[principal (diviseur)]{diviseur} un diviseur sur $C$ (de degré
+zéro) de la forme $\divis(f) := \sum_{P\in C} v_P(f)\cdot (P)$ pour
+une certaine fonction $f \in k(C)$ non constante. Les diviseurs
+principaux forment un sous-groupe du groupe des diviseurs : on dit que
+deux divieurs $D$ et $D'$ sont \defin[linéairement équivalents
+ (diviseurs)]{linéairement équivalents}, et on note $D \sim D'$,
+lorsque leur différence $D'-D$ est un diviseur principal. Le groupe
+des diviseurs (resp. diviseurs de degré $0$) modulo les diviseurs
+principaux (=modulo équivalence linéaire) s'appelle \defin[Picard
+ (groupe de)]{groupe de Picard} (resp. groupe de Picard de degré
+zéro) de la courbe $C$, noté $\Pic(C)$ (resp. $\Pic^0(C)$).
+\end{defn}
+
+
% TODO:
% * Différentielles.